ข้อสอบ สมาคมมัธยมปลาย 2557 (ฉบับเต็ม)

[Cachy-Schwarz]

ช่วยกันเฉลยครับ
ปล. ขอบคุณเพื่อนที่ช่วยลดขนาดไฟล์รูปภาพให้ด้วยครับ

[Knowledge]

ข้อ35. ให้ เงื่อนไขที่2 เท่ากับ k แล้วจัดรูป zj = ... แล้วหาขนาดได้ 1 และได้ zbar = 1/z
จาก |sigma z| = | sigma zbar | = | sigma 1/z | = 1/1007

ข้อ1. วาดรูปตอบ3

ข้อ2 เอาสมการลบกันได้ A^2-B^2 = A-B แล้ว เทค det ได้ 1

ข้อ3. แยกเศษส่วนเป็นอนกรมเทเลสโคปิกได้ข้อ4

[passer-by]

ตอบเฉพาะข้อที่ผมสนใจ ในตอนที่ 2,3 นะครับ

[Thgx0312555]

ข้อ 23 ลองเสนออีกวิธีครับ

Note M เป็นจุดกึ่งกลาง BC , D เป็นจุดปลายเส้นส่วนสูงจาก A

Since $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{BC}=0$
$(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{BC}=0$

Then $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}(2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA})\cdot\overrightarrow{BC}$

$=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{DA})\cdot\overrightarrow{BC}$

$=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD})\cdot\overrightarrow{BC}= \dfrac{1}{2}(|\overrightarrow{CD}|-|\overrightarrow{BD}|)(|\overrightarrow{CD}|+|\overrightarrow{BD}|)= \dfrac{1}{2}(|\overrightarrow{CD}|^2-|\overrightarrow{BD}|^2)= \dfrac{1}{2}(|\overrightarrow{AC}|^2-|\overrightarrow{AB}|^2)=28$

ครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อ 26 $(a,b,c)=(1,1,\sqrt{\pi-3}),(1,1,-\sqrt{\pi-3})$

ตอนทำจะมี $(a,b)$ ที่ทำให้ $c^2=\pi-5$ ซึ่ง ใช้ไม่ได้

ส่วน$\lim_{x \to \infty} f(x)=-3$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อ 27, 33 ทำยังไงครับ? รบกวนด้วยครับ

[Aroonsawad]

Hint : ข้อ 33 นะครับ (a_1)^2 + (a_90)^2 =1 แล้วลองพิจารณา sqrt(1+a_1) + sqrt(1-a_1) ดูครับ ขออภัยด้วยที่ผมพิมพ์ได้ค่อนข้างน่าเกลียดนะครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ขอบคุณ #8 มากครับ

33.ให้ $\sqrt{1+a_i}-\sqrt{1-a_i}=k$

จะได้ว่า $2-2\sqrt{1-a_i^2}=k^2$

และจาก $a_i^2+a_{91-i}^2=1$ จึงได้ $k= \sqrt{2}\sqrt{1-a_{91-i}}$ สำหรับทุกๆ $i=1,2,...45$

$\dfrac{\sqrt{1+a_1}-\sqrt{1-a_1}+\sqrt{1+a_2}-\sqrt{1-a_2}+...+\sqrt{1+a_{90}}-\sqrt{1-a_{90}}}{\sqrt{1-a_1}+\sqrt{1-a_2}+...+\sqrt{1-a_{89}}+\sqrt{1-a_{90}}} =\sqrt{2}$

ดังนั้น

$\dfrac{\sqrt{1+a_1}+\sqrt{1+a_2}+...+\sqrt{1+a_{90}}}{\sqrt{1-a_1}+\sqrt{1-a_2}+...+\sqrt{1-a_{90}}} =\sqrt{2}+1$

ปล.อีกข้อนึงผมทดเลขพลาดเองครับ ขอบคุณมากครับ