ข้อสอบ สมาคม ม.ต้น 2557 (ฉบับเต็ม)

[gon]

น่าจะครบหมดแล้วนะครับของปีนี้

ข้อ11-23

ข้อที่23-40

[chaiyawat]

1. ผมได้ $A=\frac{7}{2} l^2 \sin \frac{2\pi }{7} ,B=\frac{18}{2} l^2 \sin \frac{2\pi }{18}$ จะเปรียบเทียบ ข้อ (2) อย่างไรครับ

2. ทำไมต้องกำหนด $l>4$ ครับ

ขอบคุณครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ chaiyawat

1. ผมได้ $A=\frac{7}{2} l^2 \sin \frac{2\pi }{7} ,B=\frac{18}{2} l^2 \sin \frac{2\pi }{18}$ จะเปรียบเทียบ ข้อ (2) อย่างไรครับ

2. ทำไมต้องกำหนด $l>4$ ครับ

ขอบคุณครับ

ตอนนี้ผมยังหาวิธีง่าย ๆ ไม่ได้ ถ้าไม่รู้ค่า $\sin 15^{\circ}$ ครับ

เนื่องจาก $\sin \frac{2\pi}{7} < \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

และ $\sin \frac{\pi}{9}> \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{A}{B} = \frac{7}{18} \cdot \frac{\sin(2\pi/7)}{\sin(\pi/9)} < \frac{7}{18} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}} = \frac{7\sqrt{2}}{6(3-\sqrt{3})}$

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\frac{7\sqrt{2}}{6(3-\sqrt{3})} < \frac{25}{11}$

เนื่องจาก $77\sqrt{2} \approx 77(1.4) = 107.8$

และ $150(3-\sqrt{3}) \approx 150(3-1.7) = 150(1.3) = 195$

แสดงว่า ข้อ 2. จริง

ค่า $l$ ผมคิดไม่จำเป็นต้องมากกว่า 4 นะครับ อาจจะบอกมาเพื่อให้คำนวณง่ายตามวิธีของคนออกข้อสอบครับ.

[Thgx0312555]

น่าสนใจดีนะครับ การหาวิธี ม.ต้น จริงๆโจทย์คงตั้งใจจะให้สังเกตว่าเมื่อจำนวนเหลี่ยมเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ พื้นที่จะมากขึ้น
ก็จะได้ $A<B<C$ ซึ่งได้คำตอบไม่ยากครับ

อย่างไรก็ตาม การใช้ความรู้แค่ ม.ต้น ก็อาจจะยังไม่พอที่จะพิสูจน์ข้อสังเกตนี้

โจทย์จึงเปลี่ยนไปเป็นให้พิสูจน์ตัวนี้แทน $\dfrac{A}{25}<\dfrac{B}{11}$ ซึ่งจะสามารถพิสูจน์โดยวิธี ม.ต้นได้ครับ

ก่อนอื่นสังเกต ว่าเราจะสามารถบรรจุรูป 7 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ลงในรูป 21 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าได้

จะพบว่าพื้นที่ 21 เหลี่ยมเป็น $\dfrac{21}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{21}$
ดังนั้นจะได้ $\dfrac{A}{21}<\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{21}$

และพื้นที่ 18 เหลี่ยมเป็น $\dfrac{18}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}$
จะได้ $\dfrac{B}{18}=\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}$

แต่ $\sin\dfrac{2\pi}{18}>\sin\dfrac{2\pi}{21}$

จะได้ $\dfrac{A}{21}<\dfrac{B}{18}$

และจะได้ผลตามนี้ด้วย $\dfrac{A}{25}<\dfrac{A}{21}<\dfrac{B}{18}<\dfrac{B}{11}$

จึงสามารถพิสูจน์ที่โจทย์ถามได้ครับ (แต่ถ้าสอบอยู่ก็คงไม่มีใครมาพิสูจน์น่ะครับ)

[chaiyawat]

ขอบคุณ คุณกร และคุณThgx0312555 มากครับ

ตอนแรกผมทำโดย

$\sin\dfrac{2\pi}{7}>\sin\dfrac{2\pi}{18}$

$\dfrac{18}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{7}>\dfrac{18}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}$

$\dfrac{18}{7}\times \dfrac{7}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{7}>\dfrac{18}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}$

$\dfrac{18}{7}A>B$

$\dfrac{A}{7}>\dfrac{B}{18}$

เลยไม่รู้จะไปอย่างไรต่อ แต่เดาว่าข้อนี้น่าจะถูก
.....................................................
เอาใหม่

$A<\dfrac{25}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{25}$

$\dfrac{A}{25}<\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{25}$

$\dfrac{A}{25}<\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{25}<\dfrac{1}{2}l^2\sin\dfrac{2\pi}{18}=\dfrac{B}{18}$

$\dfrac{A}{25}<\dfrac{B}{18}<\dfrac{B}{11}$

ขอบคุณอีกครั้งครับ

[linlyse]

รบกวนสมาชิกอยากขอเฉลยคำตอบไว้ใช้ตรวจสอบค่ะ ขอบคุณคะ

[Panithi Vanasirikul]

ผมไปทำมาเเล้วครับ ยากอยู่เหมือนกัน ข้อเเรก ไม่เคลียร์ใช่มั้ยครับ

[Puriwatt]

มีคนส่งเฉลยมาให้ดู --> น่าจะสรุปได้ดังนี่
ตอนที่ 1
$\begin{array}\ 1.-& &2. ค& &3. ข& &4. ง& &5. ก \\ 6. ง& &7. ข& &8. ก& &9. ง& &10. ง \\ 11. ค& &12. ข& &13. ก& &14. -& &15. ค \end{array} $

ตอนที่ 2
16. 30 นาที
17. 1/2
18. 6
19. $(5x-4)(7x^2+2x+52)$
20. 159 คน

ตอนที่ 3
21. $(2x-3+\sqrt{3}+\sqrt{5})(2x-3+\sqrt{3}-\sqrt{5})$
22. $\frac{8\pm \sqrt{51}}{2}$
23. a = -3, b = 15
24. 1.2
25. $\frac{1+k^2}{1-k^2}$
26. $\frac{20}{3}$ หรือ $6\frac{2}{3}$
27. a = -2 , b = 3
28. 441 รูป (แก้ไขคำตอบ)
29.1 $4:7$ 29.2 เท่ากัน ที่ $20^o$C
30. $65^o$
31. 90 กอง
32. A 10 วัน, B 15 วัน, C 30วัน
33. 63 นาที
34. 33 กม.
35. 6.6 ซ.ม.
36. 2.5 หน่วย
37. $\frac{6}{25}$
38. $\frac{5}{3}$ บาท
39. 45 องศา
40. 6.16

[linlyse]

ขอรบกวนสมาชิกช่วยชี้แนะแนวทางในข้อ 3 4 7 8 11 16 และ 17 ขอบคุณคะ

[Dr.K]

อยากทราบข้อ 33และ ข้อ 38 ครับ

[หัวหมาหางสิงโต]

ข้อ 4(แนวคิดเเบบมั่วๆ ของผมครับ)
ผลต่างของจำนวน 2 จำนวนที่ไม่เท่ากันคือ 2 หรือ 4 หรือ 6 หรือ 8 หรือ 10
แสดงว่าต้องเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่เรียงกัน
ถ้าผลคูณของจำนวนทั้ง 6 จำนวน หารด้วย 33 ลงตัว
แสดงว่่าใน 6 จำนวนนี้ต้องมีจ้านวนที่หารด้วย 3 ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัวและมีจำนวนที่หารด้วย 11 ลงตัวอย่าวน้อย 1 ตัว
โดยขอสมมติว่าทั้ง 6 จำนวนเป็น 7 9 11 13 15 17 ซึ่งมี 2 จำนวนที่มีหลักเดียว
จำนวนชุดนี้ตามเงื่อนไขที่โจทย์ให้แล้วจับคูณกันได้ 2297295

แนวคิดประมาณนี้ครับ



ป.ล. ถ้าอยากได้เฉลยแบบเต็มรอผู้รู้ดีกว่าครับ

[หัวหมาหางสิงโต]

ข้อ 7
$a^2+3a+b^2$
$=a^2+2ab+b^2+ab$
$=(a+b)^2+ab$
$=2^2+ab=2$ (เพราะว่า $a+b=2$)
ดังนั้น $ab=-2$
$a^3+b^3$
$=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$=(a+b)[(a+b)^2-3ab]$
$=2(2^2+6)$
$=2(10)$
$=20$

[Puriwatt]

ข้อ.38 ลองศึกษาเรื่องค่าคาดหมาย น่าจะม.3
จะได้ว่า = (60)×6/36 + (-10)×30/36 = 60/36 = 5/3 บาท

[Puriwatt]

ข้อ.33 กำหนดให้
v = ความเร็วเครื่องบินเมื่อลมนิ่ง
u = ความเร็วลม
t = เวลาที่ใช้บินเมื่อลมนิ่ง(นาที)
(v-u)84 = vt = (v+u)(t-9) = ระยะทางกท.-ชม.
$\frac{(v-u)}{v} = \frac{t}{84}$ ----(1)
$\frac{(v+u)}{v} = \frac{t}{(t-9)}$ ----(2)
(1)+(2); $2 = \frac {t^2+75t}{84t-9(84)}$
จัดรูปได้เป็น $t^2-93t+(21)(72)=0$
จะได้ t = 21 หรือ 72 นาที
แต่เวลาที่ใกล้เคียง 1 ชั่วโมงคือ 72 นาที
ดังนั้นเวลาบินตามลมคือ t-9 = 63 นาที

[Puriwatt]

ข้อ.17 การที่มีรากซ้ำ คือ เป็นรูปกำลังสองสมบูรณ์
หมายถึงรูปสมการปกติ $Ax^2+Bx+ C=0$ ที่มีค่า $B^2-4AC= 0$ และ $ x = -\frac{B}{2A} $

จากรูปสมการที่โจทย์ให้มาคือ $ax^2+ ax+1=0$
จะได้ว่า $a^2-4(a)(1) = 0; a = 4 $ และ $ k = -\frac{B}{2A} = -\frac {1}{2}$

ดังนั้น $a^k = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} =0.5$