สมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ๒๕๕๘

[Thgx0312555]

29. จัดรูปได้
$n+\dfrac{1}{n}=\dfrac{2m}{m-n}=2+\dfrac{2n}{m-n}$
จัดต่ออีกนิด
$m-n=\dfrac{2n^2}{(n-1)^2}=2+\dfrac{4n-2}{(n-1)^2}$

$\dfrac{4n-2}{(n-1)^2}$ เป็นจำนวนเต็ม

$(n-1)^2 \le 4n-2$

$n^2-6n+3 \le 0$
If $n \ge 6; n^2-6n+3 = n(n-6)+3 \ge 3$
$n \le 5$
If $n=5, 16 \nmid 18$
If $n=4, 9 \nmid 14$
If $n=3, 4 \nmid 10$
If $n=2, m=10$
จริงๆก็ได้คู่อันดับ $(2,10)$ เป็นคำตอบเดียว

[~ArT_Ty~]

ข้อ 17 ให้ $n \in \mathbb{N}$ พิจารณา $\displaystyle{\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx =\int_{n}^{n+\frac{1}{2}}f(x)\,dx+\int_{n+\frac{1}{2}}^{n+1}f(x)\,dx=\int_{n}^{n+\frac{1}{2}}x-n\,dx+\int_{n+\frac{1}{2}}^{n+1}1-x+n\,dx}$

หลังจากคำนวณแล้ว จะได้ว่า $\displaystyle{\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx =\frac{1}{4}}$ ทุก $n \in \mathbb{N}$

เราจะได้ว่า $\displaystyle{\int_{-2015}^{2015}f(x+2558)\,dx=\int_{543}^{4573}f(x)\,dx=\sum_{n = 543}^{4572} \int_{n}^{n+1}f(x)\,dx =\frac{4572-543+1}{4}=1007.5}$

[Thgx0312555]

13. อีกวิธีครับ
แปลงโจทย์เป็น
สุ่มจำนวนจริง $x,y,z \in (0,1)$ ซึ่ง $x+y+z=1$ จงหาความน่าจะเป็นที่ $x+y \ge z, y+z \ge x, z+x \ge y$

นั่นคือหาความน่าจะเป็นที่ $x,y,z \le \frac{1}{2}$

$P(x,y,z \le \frac{1}{2}) = 1-P(x \ge \frac{1}{2})-P(y \ge \frac{1}{2})-P(z \ge \frac{1}{2})$ (เหตุการณ์ทั้งสาม disjoint)

สำหรับวิธีการคำนวณ $P(x \ge \frac{1}{2})$ มองกลับเป็นการแบ่งไม้เป็น 3 ท่อน
ถ้าจะให้แบ่งแล้ว $x \ge \frac{1}{2}$ จุดแบ่งทั้งสองจุดต้องอยู่ในครึ่งหลังของท่อนไม้ เนื่องจากจุดแบ่งทั้งสองสามารถคิดเป็นอิสระต่อกัน (แบ่งครั้งแรกไม่ส่งผลต่อการแบ่งครั้งที่สอง)

$P(x \ge \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$
แต่ $P(x \ge \frac{1}{2})=P(y \ge \frac{1}{2})=P(z \ge \frac{1}{2})$ by symmetry
$P(x,y,z \le \frac{1}{2})=1-3(\frac{1}{4})=\frac{1}{4}$

another idea

จริงๆสามารถสร้าง bijection ระหว่างกรณีทั้ง 4 ได้
$(a+\frac{1}{2},b,c) \leftrightarrow (a,b+\frac{1}{2},c) \leftrightarrow (a,b,c+\frac{1}{2}) \leftrightarrow (\frac{1}{2}-a,\frac{1}{2}-b,\frac{1}{2}-c)$ when $a+b+c=\frac{1}{2}, a,b,c >0$

แต่เสียดายที่เซตอนันต์ไม่สามารถใช้ bijection แบบตรงๆแบบนี้ได้ มิฉะนั้นเราก็สามารถ bijection กับกรณีทั้งหมดได้ด้วย $(2a,2b,2c)$

อาจจะไปทำอะไรสักอย่างต่อได้ครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 26 เห็นว่าต้องใช้โลปิตาลและก็ดิฟผลหารด้วย (ไม่แน่ใจว่า ม.ปลายสอนมั้ย)

จากโจทย์จะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} x\left(\,\arctan\left(\,\frac{x+1}{x+2}\right)-\arctan\left(\,\frac{x}{x+2}\right) \right) }=\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan\left(\,\displaystyle{\frac{x+2}{2x^2+5x+4}}\right) }{\displaystyle{\frac{1}{x}}}$ ซึ่งอยู่ในรูปแบบไม่กำหนด $\displaystyle{\frac{0}{0}}$

ใช้ทฤษฎีบทของโลปิตาลทำการดิฟบนดิฟล่างและจัดรูปจะได้ว่า (ขอข้ามขั้นตอนหน่อยนะครับ จัดรูปไม่ยากมากแต่อาจจะถึกสักหน่อย)

$$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} x\left(\,\arctan\left(\,\frac{x+1}{x+2}\right)-\arctan\left(\,\frac{x}{x+2}\right) \right) } = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x^4-3x^3}{(2x^2+5x+4)^2+(x+2)^2}=-\frac{1}{2}$$

ไม่ค่อยแน่ใจเหมือนกัน ผิดขออภัยครับ

น่าจะ $\dfrac{1}{2}$ นะครับ

[Thgx0312555]

ข้อ 31 $\frac{1}{128}$ ครับ คล้ายๆ TMO ปีล่าสุดเลย (ไม่ได้สอบแล้ว)(สมาคมก็ไม่ได้สอบ555)

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

น่าจะ $\dfrac{1}{2}$ นะครับ

ขอบคุณครับ พลาดจริงๆด้วย

[RyanGiggs]

ข้อ31 n(S) = 2^16 , n(E) = 2^9 , P(E) = 1/128

[Thgx0312555]

ข้อ 2 คะแนนบางข้อก็ไม่น่าเป็นข้อ 2 คะแนนเลย
อย่างข้อนี้ครับ
9.
$x+ay+z=3 \qquad (1)$
$2x+y+bz=1 \qquad (2)$
$3x+y+3z=2 \qquad (3)$

ผู้ที่ไม่ระวังจะถูกหลอกว่าเป็น matrix ได้ง่ายๆ

Solution
$3(1)-(3); \qquad (3a-1)y=7$

ได้ $y=-7, a=0$ หรือ $y=-1, a=-2$

แต่โจทย์กำหนดว่า $a \neq 0$

ดังนั้น $y=-1, a=-2$ แทนกลับไปจะได้ $x+z=1, b=2$

$x+2y+z+3ab=-7$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 27. จากโจทย์จะได้ว่า $\displaystyle{S_k=\sum_{r = 1}^{k}\frac{1}{r(r+1)(r+2)} }=\frac{1}{2}\sum_{r = 1}^{k}\left(\,\frac{1}{r(r+1)}-\frac{1}{(r+1)(r+2)}\right) =\frac{1}{4}-\frac{1}{2(k+1)(k+2)}$

นั่นคือ $\displaystyle{\left|\,S_k-0.25\right|= \frac{1}{2(k+1)(k+2)}}<0.0001$ ทำให้ได้ว่า $(k+1)(k+2)>5000$

แก้อสมการออกมาจะได้ว่า $k$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนเต็มบวกคือ $k=70$

[Thgx0312555]

14. มี $(x,y)$ กี่คู่ซึ่ง $-|y|+x-\sqrt{x^2+y^2-1} \ge 1$

แยก 2 กรณี 1) $x >1$
$-|y|+x-\sqrt{x^2+y^2-1} \le x+\sqrt{x^2-1} = \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2-1}} < 1$

2) $x \le 1$
$-|y|+x-\sqrt{x^2+y^2-1} \le x \le 1$

อสมการเป็นจริงเมื่อ $x=1, y=0$ ดังนั้นมี 1 คำตอบ

[Thgx0312555]

ข้อ 10 ตอบ $\frac{1}{4+1} \binom{8}{4}=14$ แต่ดูเหมือนคนออกข้อสอบคงอยากจะให้แยกกรณีถึกๆเอา