ข้อสอบ สิรินธร ครั้งที่ 13 ม.ต้น 13 ธันวาคม 2558

[Hutchjang]

ข้อสอบ สิรินธร ครั้งที่ 13 ม.ต้น 13 ธันวาคม 2558 ครับ
รบกวนช่วยๆกันเฉลยด้วยนะครับ

[RER]

ข้อ 3 ตอน 1 จัดรูปได้เป็น$x^2+2x+y^2\leqslant 4 \rightarrow (x+1)^2+y^2\leqslant 5$
เป็นพื้นที่ภายในวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (-1,0) รัศมี $\sqrt{5} $ หน่วย กราฟอสมการ$y\leqslant |x+1|$
ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมแล้วแบ่งครึ่งเหลือครึ่งวงกลม พื้นที่เป็น$2.5\pi$

[RER]

ข้อ 4 ตอน 1 นำ 5 ไปแทนในอสมการแล้วเป็นเท็จ ค่าของ 6 ทำให้อสมการเป็นจริง ตอบ ข
ข้อ 6 ตอน 1 ให้$\sqrt[3]{5}=a\rightarrow x^3+x^2-ax+a^3+a^2=0$
$(x+a+1)(x^2-ax+a^2)=0 ได้ว่า x=-a-1=-\sqrt[3]{5}-1$ นำไปแทนใน k หาค่าต่อ ได้ -5

[RER]

ข้อ 14 ตอน 1 เลขหลักเดียว มีเลข 1 1 ตัว เลข 2 หลัก มีเลข 1 ในหลักสิบ 1x สามารถใส่ได้ 10 วิธี ในหลักหน่วย
X1 สามารถใส่ได้ 9 วิธี ในหลักร้อย มีเพียงตัวเดียว ได้เลข 1 ทั้งหมด 21 ตัว ในทำนองเดียวกันเลข 2,3,4,5,6,7,8,9 มีทั้งหมด 20 ตัว จำนวนเลขโดทั้งหมดในหลักเดียว 9 ตัว เลข 2 หลักมี $2\times90=180$ เลข 3 หลักมี 3 ตัว
ได้เลขโดดทั้งหมด 192 ตัว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ $\frac{21(1)+(2+3+...+9)(20)}{192}=4.69$

[RER]

ข้อ 18 ตอน 2 $พิจารณา mod8$ $3\equiv 3mod8 $
$33\equiv 1 mod8$ $333\equiv 5mod8$ $3333=3000+333\equiv333mod8\equiv5mod8$
$33333=33000+333\equiv333mod8=5mod$ สำหรับเลข 3 สี่ตัวขึ้นไปจะหารเหลือเศษ5 เสมอ
ได้เศษเป็น $3+1+2013(5)=10069\equiv5mod8$
ดังนั้น$[(3+33+333+.....+333...333(2015ตัว))]^2\equiv25mod8\equiv1mod8$ ครับผม

[RER]

ข้อ 7 ตอน 2 ลอกสมาคมปีนี้ มา ==" จากโจทย์บอกสมมติให้ $B=x^2+ex+2$ เมื่อ e เป็นค่าคงที่
จะได้ $ax^3+bx^2+cx+d=(3x+2)(x^2+ex+2)=3x^3+(3e+2)x^2+(2e+6)x+4=0$
เทียบสัมประสิทธิ์ได้ $a=3 ,b=3e+2 ,c=2e+6, d=4 $ แต่ $4b+c=0\rightarrow 14e=-14,e=-1$
ได้ $b=-1,c=4$ ได้ $a+b+c+d=10$

[RER]

ข้อ 8 ตอน 2 นี่ถึกมาก แถมในห้องสอบทดผิดด้วย
$143,489,802=101000000001000010_3$
ได้ $w=17,x=15,y=6,z=1$
ได้ $w(x+y)^2+\sqrt{z}=17(441)+1=7498$

[RER]

ข้อ 19 ตอน 2 สังเกตแบบรูปที่ให้มาผลบวกของตัวบนและตัวล่างของ เลข ใดๆในแบบรูปมีค่าเท่ากับ $2(x+1)$ เมื่อ x คือจำนวนตรงกลาง ดังนั้นผลบวกเลขที่อยู่ด้านบนและด้านล่างของ $250$ คือ $502$

[กิตติ]

ข้อ 1 ตอน 2
แยกเป็น 2 กรณี
1. x เป็นเลขหลักเดียว
จะได้ว่า $\frac{xxx}{x+x+x} =37$
มีทั้งหมด 9 จำนวน
2.xเป็นเลขสองหลัก มีทั้งหมด 90จำนวน
ให้ $x=\overline{ab} $ เมื่อ $1\leqslant a\leqslant 9, 0\leqslant b\leqslant 9$
จะได้ว่า $\frac{xxx}{x+x+x} =\frac{\overline{ababab} }{3\overline{ab} }=\frac{10101}{3} =3367$

ผลรวมของจำนวน $\frac{xxx}{x+x+x} =(37\times 9)+(3367\times 90)=333+303030=303363$

[กิตติ]

ข้อ 4 ตอน2
$n-S(n)=873$
จะได้ว่า 1.$n\geqslant 873$
และ 2. $n$ เป็นเลขสามหลัก ไม่ใช่สี่หลัก เพราะพิจารณา ค่าของ $S(n)$ ของเลขสี่หลักจะอยู่ระหว่าง $1-36$
ซึ่ง เมื่อแทนค่า $S(n)$ ที่มากที่สุดลงไปจะได้ $n=873+36=909$ ซึ่งไม่ใช่เลขสี่หลัก

ให้ $n=\overline{abc} $ เมื่อ $a,b,c$ เป็นเลขโดด
$n=873+S(n)$
$\overline{abc}=100a+10b+c=873+(a+b+c)$
$99a+9b=873\rightarrow 11a+b=97$
เนื่องจากเรารู้ว่า $873<n\leqslant 999$ เราจึงเลือกแทน $a=8$ ส่วน $a=9$ ทำให้ได้ค่า $b$ ติดลบ
จะได้ว่า $a=8,b=9$ และ $0\leqslant c\leqslant 9$

ผลรวมของค่า $n$ เท่ากับ $890+891+892+...+899$
เท่ากับ $890\times10+(1+2+3+...+9)$
$=8900+45=8945$

[กิตติ]

ข้อ 3 ตอนที่ 2
$a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=48$
$2(\frac{b}{2} -\frac{a}{2} )^2+2(\frac{c}{2} -\frac{b}{2} )^2+2(\frac{c}{2} -\frac{a}{2} )^2=48$
$(\frac{b}{2} -\frac{a}{2} )^2+(\frac{c}{2} -\frac{b}{2} )^2+(\frac{c}{2} -\frac{a}{2} )^2=24$
เราเขียน $24$ ในรูปของผลบวกของจำนวนกำลังสองได้รูปแบบเดียวคือ $24=4+4+16$
ดังนั้น $\frac{b}{2} -\frac{a}{2}=2,\frac{c}{2} -\frac{b}{2} =2,\frac{c}{2} -\frac{a}{2}=4$
เพราะว่าโจทย์กำหนด $a\leqslant b\leqslant c$
ดังนั้น $b-a=4,c-b=4 $ และ $c-a=8$
สำหรับกรณีที่มีสองค่าใดๆเท่ากันนั้น จะได้ค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เพราะสมมุติให้ $a=b$จะได้สมการ $(\frac{c}{2} -\frac{b}{2})^2=12$ เช่นเดียวกับกรณีของ $b=c$

โจทย์กำหนดว่า $a,b,c<2558$
พิจารณาค่ามากที่สุด คือ $c$ เท่ากับ $2557$จะได้ว่า $a=2557-8=2549$
ดังนั้นมีจำนวนชุดคำตอบเท่ากับ $2549$

[กิตติ]

ทดเสร็จสักสามสี่ข้อ ได้ข้อสอบมาจากลูกที่ไปสอบ ทำไม่ได้ ถึงกับบอกว่า มีข้อสอบแบบนี้บนโลกมนุษย์ด้วยเหรอ
เดี๋ยวทดเสร็จจะค่อยๆพิมพ์ลงให้ช่วยการตรวจว่า ผมทดผิดตรงไหนครับ

[กิตติ]

ข้อ 18 ตอนที่ 2
แบบไม่ใช้มอดูลลัส
$N=3^2\times (1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015})\times (1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015}) $

ถ้าเขียนแต่ละพจน์ให้อยู่ในรูป $8P+r$ เมื่อ $r$ เป็นเศษของการหารด้วย 8
$N=(8+1)\times (8P+r)\times (8P+r)$
$=(8+1)\times (64P^2+16P+r^2)$
$=(8+1)\times (8(8P^2+2P)+r^2)$
$=64(8P^2+2P)+8r^2+8(8P^2+2P)+r^2$

พจน์ที่ไม่มีเลข 8 คือเศษจากการหาร $N$ ด้วย 8 ซึ่งก็คือ $r^2$
$1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015}$
ถ้าลองเขียนใหม่จะได้ว่า
$(1\overbrace{00...000}^{2014})+2(1\overbrace{00...000}^{2013})+3(1\overbrace{00...000}^{2012})+4(1\overbrace{00...000}^{2011})+ ...+2012(1000)+2013(100)+2014(10)+2015(1) $
พิจารณา $1000=(2\times 5)^3=2^3\times 5^3$
นั่นแสดงว่าตั้งแต่ $1000$ ขึ้นไป จะมี $2^3$ เป็นตัวประกอบ
$(1\overbrace{00...000}^{2014})+2(1\overbrace{00...000}^{2013})+3(1\overbrace{00...000}^{2012})+4(1\overbrace{00...000}^{2011})+ ...+2012(1000)=8M$

$(1\overbrace{00...000}^{2014})+2(1\overbrace{00...000}^{2013})+3(1\overbrace{00...000}^{2012})+4(1\overbrace{00...000}^{2011})+ ...+2012(1000)+2013(100)+2014(10)+2015(1) $
$=8M+2013(100)+2014(10)+2015(1)$
$=8M+(8(251)+5)(8(12)+4)+(8(251)+6)(8(1)+2)+(8(251)+7)$
$=8M+(8\bigtriangleup +4)+(8\bigtriangledown+4)+(8(251)+7) $
$=8\bigcirc +7$

หรือจะกระจาย $2013(100)+2014(10)+2015(1)=201300+20140+2015=\left\{\,8(25162)+4\right\} +\left\{\,8(2517)+4\right\}+\left\{\,8(251)+7\right\} $
$=8(25162+2517+251)+4+4+7$
$=8(25162+2517+251)+8+7$
$=8(25162+2517+251+1)+7$

$1+11+111+...+\overbrace{111...111}^{2015}=8\bigcirc +7$
จะได้ว่า $r=7 \rightarrow r^2=49$
$r^2$ หารด้วย 8 เหลือเศษ 1
ดังนั้น $N=(3+33+333+...+\overbrace{333...333}^{2015})^2 $ หารด้วย 8 เหลือเศษคือ 1

[กิตติ]

ข้อ 15 ตอนที่2
$\sqrt[3]{20+\sqrt{392} }+\sqrt[3]{20-\sqrt{392} }=M$
$\sqrt[3]{20+\sqrt{392} }=A\rightarrow A^3=20+\sqrt{392}$
$\sqrt[3]{20-\sqrt{392} }=B\rightarrow B^3=20-\sqrt{392}$
$A^3+B^3=40=(A+B)(A^2-AB+B^2)$
$A^2-AB+B^2=(A+B)^2-3AB$
$AB=2$
$40=(A+B)((A+B)^2-3AB)=(A+B)^3-3AB(A+B)$
$40=(A+B)^3-6(A+B)$
$(A+B)^3-6(A+B)-40=0$
$M^3-6M-40=0$
$(M-4)(M^2+4M+10)=0$
เนื่องจาก $M^2+4M+10=0$ มีค่าdiscriminantน้อยกว่า 0
$b^2-4ac=(4^2)-4(1)(10)=16-40=(-24)$
เหลือคำตอบในระบบจำนวนจริงคือ $M-4=0 \rightarrow M=4$
$\sqrt[3]{20+\sqrt{392} }+\sqrt[3]{20-\sqrt{392} }=4$

[กิตติ]

ข้อ 21 ตอนที่ 2
จาก $\sqrt[3]{4-\sqrt{15} } \times \sqrt[3]{4+\sqrt{15} } =1\rightarrow \sqrt[3]{4-\sqrt{15} }=\frac{1}{\sqrt[3]{4+\sqrt{15} }} $
$(\sqrt[3]{4-\sqrt{15} })^{x}+(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x} =8$
$(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x} +(\frac{1}{\sqrt[3]{4+\sqrt{15} }})^{x}=8 $
$(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{2x}-8(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x} +1=0$
ให้ $(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x}=A$
$A^2-8A+1=0$
$A=4\pm \sqrt{15} $
กรณีแรก $(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x}=4+\sqrt{15} $
จะได้ $x=3$
กรณีที่สอง $(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x}=4-\sqrt{15} =(\sqrt[3]{4-\sqrt{15} })^3$
$(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{x}=(\sqrt[3]{4+\sqrt{15} })^{-3}$
ดังนั้น $x= -3$

$a=3,b=-3$
$a^4+2b=3^4+2(-3)=81-6=75$