ข้อสอบ สิรินธร ครั้งที่ 13 ม.ต้น 13 ธันวาคม 2558

[Pitchayut]

เติมคำข้อ 4 คุณกิตติคิดอะไรผิดไปหรือเปล่าครับ

[กิตติ]

ข้อ 7 ตอนที่ 1
$\frac{2xy+yz-4xz}{47xyz} =\frac{2}{47}(\frac{1}{z} )+ \frac{1}{47}(\frac{1}{x})-\frac{4}{47}(\frac{1}{y})$
$\frac{3xy}{x+y}=4\rightarrow \frac{1}{4} =\frac{x+y}{3xy}\rightarrow \frac{3}{4} =\frac{1}{x}+\frac{1}{y} $......(1)
$\frac{2yz}{y+z}=3\rightarrow \frac{1}{3} =\frac{y+z}{2yz}\rightarrow \frac{2}{3} =\frac{1}{z}+\frac{1}{y} $......(2)
$\frac{5xz}{x+z}=2\rightarrow \frac{1}{2} =\frac{x+z}{5xz}\rightarrow \frac{5}{2} =\frac{1}{x}+\frac{1}{z} $......(3)
(1)-(2) $\frac{1}{12} =\frac{1}{x}-\frac{1}{z}$.....(4)
(4)+(3) $\frac{31}{12}=\frac{2}{x}\rightarrow \frac{1}{x}=\frac{31}{24}$
แทน $\frac{1}{x} $ ในสมการ (4)
$\frac{1}{z}=\frac{1}{x}-\frac{1}{12}=\frac{31}{24}-\frac{1}{12}=\frac{29}{24} $
$\frac{1}{y}=\frac{2}{3}- \frac{1}{z}=\frac{2}{3}-\frac{29}{24}=-\frac{13}{24} $
$\frac{2xy+yz-4xz}{47xyz} =\frac{2}{47}(\frac{1}{z} )+ \frac{1}{47}(\frac{1}{x})-\frac{4}{47}(\frac{1}{y})$
$=\frac{2}{47}(\frac{29}{24} )+ \frac{1}{47}(\frac{31}{24})-\frac{4}{47}(-\frac{13}{24})$
$=\frac{1}{47\times 24}\left(\,58+31+42\right) $
$=\frac{131}{47\times 24} =\frac{1}{8} $

$\frac{47xyz}{2xy+yz-4xz} =8$

[กิตติ]

ไม่รู้ว่าข้อ4 ผมลืมกรณีไหนไปบ้างไหมครับ ช่วยบอกหน่อยครับ แชร์วิธีแก้โจทย์กันได้ครับ ผมจะได้เรียนรู้ด้วยครับ

พบแล้วครับ บวกเลขผิดไปครับ
ขอบคุณมากครับ

[กิตติ]

ข้อ27 ตอนที่1
$a=-(\sin 15^\circ +\cos 15^\circ)$
$b=\sin 15^\circ \cos 15^\circ=\frac{2\sin 15^\circ \cos 15^\circ}{2}=\frac{\sin 30^\circ}{2} =\frac{1}{4} $
$a^2=(\sin 15^\circ +\cos 15^\circ)^2=1+2\sin 15^\circ \cos 15^\circ=1+2b$
$a^2-b=1+b,a^2+b=1+3b$
$a^4-b^2=(a^2-b)(a^2+b)=(1+b)(1+3b)=(1+\frac{1}{4} )(1+\frac{3}{4})=\frac{35}{16} $

[กิตติ]

ข้อ 23 ตอนที่2
$12345678910111213...2015=1/2/3/4/5/6/7/8/9/10/11/12/13/.../2014/2015$
พิจารณาทีละล็อต
$1/2/3/4/5/6/7/8/9$ มีผลรวมเลขโดดเท่ากับ $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$
$10/11/12/13/14/15/16/17/18/19$ มีผลรวมเลขโดดเท่ากับ $(1\times 10)+1+2+3+4+5+6+7+8+9=10+45=55$
$20/21/22/23/24/25/26/27/28/29$ มีผลรวมเลขโดดเท่ากับ $(2\times 10)+1+2+3+4+5+6+7+8+9=20+45=65$
เช่นเดียวกับล็อตของ $30/31/32/33/34/35/36/37/38/39$ มีผลรวมเลขโดดเท่ากับ $(3\times 10)+1+2+3+4+5+6+7+8+9=30+45=75$
เริ่มมีรูปแบบ ให้เดาไว้ว่าจาก 1-99 น่าจะมีผลบวกเท่ากับ $45\times \overbrace{10}^{จำนวนล็อต หลักสิบ 0-9} +(10+20+30+40+50+60+70+80)$
$=450+450=900$

จาก 100 ถึง 199 มีเลขหนึ่งเพิ่มมา 100 ตัว มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $900+100=1000$
จาก 200 ถึง 299 มีเลขสองเพิ่มมา 100 ตัว มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $900+(2\times 100)=1100$
เริ่มเห็นรูปแบบว่าจาก 1ถึง 999 มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $900\times \overbrace{10}^{จำนวนล็อต หลักสิบ 0-9}+(100+200+300+...+900)=9000+4500=$ $13500$

จาก 1000 ถึง 1999 มีเลขหนึ่งเพิ่มมา 1000 ตัว มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $13500+1000=$ $14500$
จาก 2000 ถึง 2015 มีผลบวกเลขโดดเท่ากับ $(16\times 2)+1+2+3+4+...9+1+1+1+1+2+1+3+1+4+1+5=32+45+21=$ $98$

ผลบวกของเลขโดดของจำนวน $12345678910111213...2015$ เท่ากับ $13500+14500+98=28098$

ไม่รู้ว่าจะตกหล่นตรงไหนไปบ้าง ช่วยผมดูด้วยแล้วกันครับ

[gon]

ผมลองคิดดูเล่น ๆ ยังเหลืออีกนิดหน่อย 4 ข้อ บางข้อที่ยังขี้เกียจทำ เพราะดูเหนื่อย

ข้อไหนที่คิดว่าผิดช่วยโต้แย้งด้วยนะครับ.

ตอนที่ 1.

1. ก
2. ข?
3. ก
4. ข
5. ก

กดเพื่อดูต่อ

6. ง
7. ค
8. ข
9. ง
10. ง
11. ง
12. ข
13. ง
14. ก
15. ค
16. ค
17. ?? หาที่แรเงาไม่เจอ สมมติว่าถ้าแรเงาตรงกลาง จะได้ ค
18. ง
19. ข
20. ก
21. ข
22. ข
23. ข
24. ค
25. ?? หาที่แรเงาไม่เจอ สมมติว่าถ้าแรเงาริมสองข้าง จะได้ ข
26. ง
27. ค
28. ค
29. ค
30. ก

ตอนที่ 2.
1. 303363
2. 30
3. 2549
4. 8945
5. 274

กดเพื่อดูต่อ

6. 9
7. 10
8. 7498
9. 0
10. 10052
11. 4
12. 504
13. 18128
14. 18
15. 4
16. 2622
17. 125
18. 1
19. 502
20. 2
21. 75
22. 28570
23. 28098
24. 22
25. ??? ข้อมูลเพียงพอ?
26. เหนื่อย
27. มีเยอะอยู่
28. 27
29. 1.3125
30. 2

[RER]

รบกวนคุณ Gon เฉลยข้อ 10 ตอน 1 ให้หน่อยครับ

[narongratp]

ข้อ 10 ตอน 1

$\Delta ABD \sim \Delta COE$ ครับ

ข้อ 11 ตอน 1

ง. หรือเปล่าครับ

ข้อ 2 ตอน 1

ถ้าให้ $\textrm{f}_{a}(1) = 0$ ได้หรือเปล่าครับ

[กิตติ]

ข้อ 11 ตอนที่2
$\frac{a}{2-a} =\frac{b}{7-b}=\frac{c}{15-c} $
$\frac{2-a}{a} =\frac{7-b}{b}=\frac{15-c}{c} $
$\frac{2}{a} =\frac{7}{b}=\frac{15}{c} $
$\frac{a}{2} =\frac{b}{7}=\frac{c}{15}=k$......(1)
$\frac{a+b+c}{2+7+15}=\frac{a+b+c}{24} =k $
$\frac{-a}{-2} =\frac{-b}{-7}=\frac{c}{15}=k$
$\frac{c-b-a}{15-7-2}=\frac{c-b-a}{6}=k $....(2)
(1)=(2) $\frac{c-b-a}{6}=\frac{a+b+c}{24}=k$
$c-b-a=\frac{16\times 6}{24} =4$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RER

รบกวนคุณ Gon เฉลยข้อ 10 ตอน 1 ให้หน่อยครับ

รัศมี $R = \sqrt{74}$ จากนั้นผมใช้กฎของไซน์เวอร์ชันสมบูรณ์แบบ

(ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่ยากโดยลากเส้นผ่านศูนย์กลางจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC จุดหนึ่ง)

$\frac{b}{\sin B} = 2R $ จะได้ $\frac{AC}{\sin B} = 2\sqrt{74}$

เมื่อรู้ $\sin B$ ก็จะรู้ค่าอื่นตามมาคือ $AD = \frac{63}{5}, AB = \frac{9\sqrt{74}}{5}, DC = \frac{7}{5}\sqrt{19}, BC = \frac{45+7\sqrt{19}}{5}$

จากนั้นใช้สูตร $\Delta = \frac{abc}{4R}$ แทนค่า $AB, BC, CA$ ลงไปก็จบครับ.

(ซึ่งพิสูจน์จาก พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = $\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B$ ร่วมกับของกฎของไซน์เวอร์ชันสมบูรณ์แบบ)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ narongratp

ข้อ 10 ตอน 1

$\Delta ABD \sim \Delta COE$ ครับ

ข้อ 11 ตอน 1

ง. หรือเปล่าครับ

ข้อ 2 ตอน 1

ถ้าให้ $\textrm{f}_{a}(1) = 0$ ได้หรือเปล่าครับ

ขอบคุณครับ ข้อ 11 ผมทดเลขผิดนิดหน่อย

ส่วนข้อ 2 ตอน 1 $\textrm{f}_{a}(1) = 0$ ได้ครับ แทน $N = 1$ ลงในสมบัติ (4)

ข้อนี้ ถ้าผมโมเมต่อว่ามันมีสมบัติของลอการิทึมทั้งหมดเลยแล้วกัน แต่ยังไม่ได้พิสูจน์ทั้งหมด จะคิดออกมาได้ $\frac{3}{2}$ ว่าง ๆ จะลองพิสูจน์ดูครับ.

[Onion]

ข้อ 17 ตอนที่ 1 ถ้าแรเงาตรงกลาง ผมคิดได้ ค.

ข้อ 12 ตอนที่ 2 ผมคิดได้ 504

รบกวนผู้รู้ช่วยแนะนำด้วยครับ

[กิตติ]

ข้อ 12 ตอน 2 ผมคิดได้ 504 เหมือนกันครับ

[กิตติ]

ข้อ 28 ตอนที่ 2 ลองแยกได้สามกรณีคือ
1. $a_n=n$ เมื่อ $n=1,5$
2.$a_n>n$ เมื่อ $n>5$
3.$a_n<n$ เมื่อ $2\leqslant n\leqslant 4$
เมื่อแทนเป็น $a_x,a_y$ จะเกิดกรณีต่างๆดังนี้
1.$a_x>x$ และ $a_y>y$ เมื่อ $x,y>5$
จะได้ $a_xa_y>xy$ ไม่เกิดกรณี $a_xa_y<xy$

2.$a_x<x$ และ $a_y<y$ เมื่อ $2\leqslant x,y\leqslant 4$
จะได้ $a_xa_y<xy$ จะเกิดคู่อันดับทั้งหมด 9 คู่อันดับ
เขียนแจกแจงได้คือ $(2,2),(2,3),(2,4),(3,2)(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)$

3.$a_x>x$ และ $a_y<y$ เมื่อ $x>5$ และ $2\leqslant y \leqslant 4$
แทนค่า $y$ ทีละค่า
3.1 $y=2,a_y=1$
$a_xa_y=a_x$ และ $xy=2x$
จะเกิด $a_xa_y<xy \rightarrow a_x< 2x $ มีค่า $x=6,7$
ได้คู่ลำดับ $(6,2),(7,2)$

3.2 $y=3,a_y=2$
$a_xa_y=2a_x$ และ $xy=3x$
จะเกิด $a_xa_y<xy \rightarrow a_x< \frac{3}{2} x $ มีค่า $x=6$
ได้คู่ลำดับ $(6,3)$


3.3 $y=4,a_y=3$
$a_xa_y=3a_x$ และ $xy=4x$
จะเกิด $a_xa_y<xy \rightarrow a_x< \frac{4}{3} x $ ไม่มีค่า $x$ ที่สอดคล้อง

กรณีที่ 3 ได้ 3 คู่อันดับคือ $(6,2),(7,2),(6,3)$

4.$a_x<x$ และ $a_y>y$ เมื่อ $2\leqslant x \leqslant 4$ และ $y>5$
แทนค่า $x$ ทีละค่า
จะเกิดแบบเดียวกันกับกรณีที่ 3 ซึ่งได้คู่ลำดับคือ $(2,6),(2,7),(3,6)$
รวม 3 คู่ลำดับ

5.กรณี $a_x=x$ เมื่อ $x=1,5$
จะได้ $a_xa_y<xy \rightarrow a_y<y $ เมื่อ $2\leqslant y \leqslant 4$
ได้คู่อันดับคือ $(1,2),(1,3),(1,4),(5,2),(5,3),(5,4)$
รวม 6 คู่ลำดับ

6.กรณี $a_y=y$ เมื่อ $y=1,5$
จะได้ $a_xa_y<xy \rightarrow a_x<x $ เมื่อ $2\leqslant x \leqslant 4$
ได้คู่อันดับคือ $(2,1),(2,5),(3,1),(3,5),(4,1),(4,5)$
รวม 6 คู่ลำดับ

รวมทั้ง 6 กรณีเกิดคู่ลำดับ $9+3+3+6+6=27$
ตอบ 27คู่ลำดับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 12 ตอน 2 ผมคิดได้ 504 เหมือนกันครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onion

ข้อ 17 ตอนที่ 1 ถ้าแรเงาตรงกลาง ผมคิดได้ ค.

ข้อ 12 ตอนที่ 2 ผมคิดได้ 504

รบกวนผู้รู้ช่วยแนะนำด้วยครับ

ขอบคุณครับ.

ข้อ 12 ตอน 2 ผมลืมดูตัวถัดไปครับ รีบไปหน่อย

ตอนแรกดูเป็น $a_n = \frac{\frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}}{\frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5}}$ ที่จริง ต้องเป็น $\frac{\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+3}}{\frac{1}{2n+3} - \frac{1}{2n+4}}$

ส่วนข้อ 17. ผมตาลาย วงผิดข้อเอง ต้องเป็นตัวเลือก ค. ถูกแล้วครับ.

ข้อ 28 ตอน 2 ผมคิดใหม่แล้วได้เท่ากับของคุณกิตติ ตอนแรกตาผมมองสลับที่ระหว่าง $a_x$ กับ $x$, $a_y$ กับ $y$ และยังลืมไปอีกว่า $x=y$ ได้ด้วย.

[Onion]

ขอบคุณ คุณ กิตติ และคุณ gon มาก ๆ ครับ