ข้อสอบ สิรินธร ครั้งที่ 13 ม.ต้น 13 ธันวาคม 2558

[น้องเจมส์]

ข้อ 26 เจ้าลูกชายตอบ 334
ข้อ 27 ตอบ 300 ครับ

[กิตติ]

ข้อ 27 ยังคิดไม่ออก ไม่ว่าจะคิดให้ตีตารางเป็น 12 คูณ 7 แล้วหักออก ติดกันอิรุงตุงนัง
ลองคิดแบบตรงๆ ก็มีพื้นที่ที่ซ้อนกันหลายรอบ ลบออกหักออกจนมึนหัว
ไม่รู้ว่าพอจะมีวิธีง่ายๆแบบม.ต้นไหมครับ มึนจริง

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ น้องเจมส์

ข้อ 26 เจ้าลูกชายตอบ 334
ข้อ 27 ตอบ 300 ครับ

ข้อ 27 ผมลองคิดและตรวจทาน 1 รอบ แล้วได้ 297 รูปครับ.

มาจาก $36\binom{2}{2} + 14\binom{3}{2} + 5\binom{4}{2} + 3\binom{5}{2} + \binom{9}{2} + \binom{10}{2} + \binom{13}{2}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 27 ยังคิดไม่ออก ไม่ว่าจะคิดให้ตีตารางเป็น 12 คูณ 7 แล้วหักออก ติดกันอิรุงตุงนัง
ลองคิดแบบตรงๆ ก็มีพื้นที่ที่ซ้อนกันหลายรอบ ลบออกหักออกจนมึนหัว
ไม่รู้ว่าพอจะมีวิธีง่ายๆแบบม.ต้นไหมครับ มึนจริง

ของผมคิดแบบ ม.ปลายครับ ซึ่งตามหลักการแล้วมันคิดได้ทุกรูป แต่ข้อนี้รูปมันไม่สวย ไม่มีรูปแบบ ต้องไล่กรณีทั้งหมด 7 กรณีครับ เป็นเส้นด้านบนที่เป็นไปได้ แต่ละในแต่ละกรณี ดูเส้นด้านล่างที่เป็นไปได้ แล้วเลือกเส้นในแนวดิ่งมา 2 เส้นที่ปิดล้อมได้ แล้วเอามาบวกกัน

อย่างกรณีที่ 1. ถ้าเส้นบนสุดประกบคู่กับเส้นที่สอง จากด้านบน

จะมีทั้งหมด $\binom{13}{2}$ รูป

แต่ถ้าเป็น เส้นบนสุดประกบคู่กับเส้นที่สาม จากด้านบน

จะมีทั้งหมด $\binom{4}{2} + \binom{3}{2} + \binom{2}{2}$ รูป ไล่เรื่อยไปแบบนี้จนครบครับ มันเหนื่อย ทีแรกผมเลยไม่ทำ

[เสือน้อย]

รบกวนข้อ 6 ตอน1 ด้วยครับ

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

รบกวนข้อ 6 ตอน1 ด้วยครับ

ให้ $a = \sqrt[3]{5}$
จะได้สมการ $x^3+x^2-ax+a^3+a^2=0$
$(x^3+a^3)+(x^2-ax+a^2)=0$
$(x+a)(x^2-ax+a^2)+(x^2-ax+a^2)=0$
$(x^2-ax+a^2)(x+a+1)=0$
$\therefore x=-\sqrt[3]{5}-1 $

โจทย์ถามหา $(x+1)^3$
$\therefore (x+1)^3=(-\sqrt[3]{5})^3=-5 $

[otakung]

ข้อ 2 ตอนที่ 2 คิดยังไงหรอครับ ขอบคุณครับ

[RyanGiggs]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ผมลองคิดดูเล่น ๆ ยังเหลืออีกนิดหน่อย 4 ข้อ บางข้อที่ยังขี้เกียจทำ เพราะดูเหนื่อย

ข้อไหนที่คิดว่าผิดช่วยโต้แย้งด้วยนะครับ.

ตอนที่ 1.

22. ข

รบกวนผู้รู้ช่วยดู ข้อ22 ตอน1 ให้ทีครับ (ผมได้ไม่ตรงที่คุณgonแปะคำตอบไว้)
ผมตอบ ค. 3 นิพจน์ คือ ac , a+b+c , a-b+c
ขอบคุณครับ

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RyanGiggs

รบกวนผู้รู้ช่วยดู ข้อ22 ตอน1 ให้ทีครับ (ผมได้ไม่ตรงที่คุณgonแปะคำตอบไว้)
ผมตอบ ค. 3 นิพจน์ คือ ac , a+b+c , a-b+c
ขอบคุณครับ

ผมได้ตรงนะครับ คิดว่า $a, b, c$ น่าจะได้ตรงกัน ก็คือ $a > 0, b < 0, c > 0$
$\therefore a - b + c > 0$ แน่นอน

จากรูป แทนค่า $x = 1$ จะได้ $y$ ต้องน้อยกว่า $0$
$\therefore y = a + b + c < 0$

[RyanGiggs]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ otakung

ผมได้ตรงนะครับ คิดว่า $a, b, c$ น่าจะได้ตรงกัน ก็คือ $a > 0, b < 0, c > 0$
$\therefore a - b + c > 0$ แน่นอน

จากรูป แทนค่า $x = 1$ จะได้ $y$ ต้องน้อยกว่า $0$
$\therefore y = a + b + c < 0$

อ้อ ผมเบลอเอง ขอบคุณครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ otakung

ข้อ 2 ตอนที่ 2 คิดยังไงหรอครับ ขอบคุณครับ

เวอร์ชันตรีโกณมิติ ให้มุม ykz = $\theta$ หน่วยองศาทั้งหมด

ในรูปสามเหลี่ยม xyk โดยกฎของไซน์เราได้ $\frac{xk}{yk} = \frac{\sin(\theta - 20)}{\sin 20} ... (1)$

ในรูปสามเหลี่ยม kyz โดยกฎของไซน์เราได้ $\frac{yk}{yz} = \frac{\sin 80}{\sin \theta} ...(2)$

(1)x(2) , $ 1 = \frac{\sin(\theta - 20)}{\sin 20} \cdot \frac{\cos 10}{\sin \theta}$

$\frac{\sin(\theta - 20)}{2\sin 10 \sin \theta} = 1$

$\sin(\theta - 20) = \cos(\theta - 10) - \cos(\theta + 10)$

$\cos(110-\theta) + \cos(\theta +10) = \cos(\theta -10)$

$2\cos 60 \cos(\theta - 50) = \cos(\theta -10)$

$\cos(\theta -50) = \cos(\theta - 10)$

$\theta - 50 = 360n \pm (\theta - 10)$

เลือก $n = 0$ และเครื่องหมายลบ ได้ $\theta - 50 = -\theta + 10 \Rightarrow \theta = 30$

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

เวอร์ชันตรีโกณมิติ ให้มุม ykz = $\theta$ หน่วยองศาทั้งหมด

ในรูปสามเหลี่ยม xyk โดยกฎของไซน์เราได้ $\frac{xk}{yk} = \frac{\sin(\theta - 20)}{\sin 20} ... (1)$

ในรูปสามเหลี่ยม kyz โดยกฎของไซน์เราได้ $\frac{yk}{yz} = \frac{\sin 80}{\sin \theta} ...(2)$

(1)x(2) , $ 1 = \frac{\sin(\theta - 20)}{\sin 20} \cdot \frac{\cos 10}{\sin \theta}$

$\frac{\sin(\theta - 20)}{2\sin 10 \sin \theta} = 1$

$\sin(\theta - 20) = \cos(\theta - 10) - \cos(\theta + 10)$

$\cos(110-\theta) + \cos(\theta +10) = \cos(\theta -10)$

$2\cos 60 \cos(\theta - 50) = \cos(\theta -10)$

$\cos(\theta -50) = \cos(\theta - 10)$

$\theta - 50 = 360n \pm (\theta - 10)$

เลือก $n = 0$ และเครื่องหมายลบ ได้ $\theta - 50 = -\theta + 10 \Rightarrow \theta = 30$

ขอบคุณครับ

[xrayman]

รบกวนหน่อยค่ะ ข้อ 5 ตอน 2 ทำยังไงคะ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ xrayman

รบกวนหน่อยค่ะ ข้อ 5 ตอน 2 ทำยังไงคะ

...ลำดับ $1,3,7,13,...,a_n$มีพจน์ทั่วไปคือ...$a_n=n^2-n+1$(มีวิธีคิด)
...อนุกรม $S_n=1+3+7+13+...+a_n$มีผลบวกอยู่ในรูปทั่วไปคือ...
$S_n=(n^3+2n)/3$(เทคซิกม่า$a_n$)
...ผลบวกของอนุกรม...$U_n=$
$(1)+$
$(1+3)+$
$(1+3+7)+$
$(1+3+7+13)+$
$...+S_n$
มีผลบวกอยู่ในรูปทั่วไปคือ..
$U_n=(n^4+2n^3+5n^2+4n)/12$(เทคซิกม่า$S_n$)
...ส่วนการหาค่าเฉลี่ยคือ
$$ค่าเฉลี่ย=U_{40}/จำนวนข้อมูลทั้งหมด(1+2+...+40)$$


...ข้อสอบแบบรูปทดสอบอัจริยภาพทางคณิตศาสตร์แบบนี้
จำเป็นต้องมีทักษะทางคณิตศาสตร์สูงมากและไม่ง่ายเลย
สำหรับนักเรียนระดับม.ต้นนะครับ