IJSO 2559

[Chalard]

21. แก้ระบบสมการ จะได้ x = 2cos1 - 3sin1 และ y = 3cos1 + 2sin1 ดังนั้น 2x + 3y = 13cos1

[Scylla_Shadow]

ข้อ 13 ยังคิดวิธีที่ดีกว่าพิธากอรัสไม่ออก

กำหนดความยาวด้านตามภาพแนบ

1. หาด้าน BQ, AR, AT, RT
1.1 $BQ$ : $BQ=\sqrt{x^2+y^2}$ โดยพิทากอรัส
1.2 $AR$ : $\dfrac{1}{2} \cdot AR \cdot BQ = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AQ$ โดยหาพื้นที่สามเหลี่ยม
$h=AR = \dfrac{xy}{x^2+y^2}$
1.3 $AT, RT$ : $\dfrac{AR}{BQ}=\dfrac{RT}{BA}=\dfrac{TA}{AQ}$ โดยสามเหลี่ยมคล้าย $\triangle ART \sim \triangle QBA$
$x_1=RT=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ และ $y_1=TA = \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$

2. หาคำตอบที่ต้องการ: ให้ $\dfrac{x}{y}=k$
จาก $PR^2=x_1^2+(x-y_1)^2$ โดยพิทากอรัส

$PR^2=\left ( \dfrac{xy^2}{x^2+y^2} \right ) ^2+\left ( x-\dfrac{x^2y}{x^2+y^2} \right ) ^2$

$\dfrac{PR^2}{x^2} = \left ( \dfrac{y^2}{x^2+y^2} \right ) ^2 + \left ( 1-\dfrac{xy}{x^2+y^2} \right ) ^2$

แทนค่าสิ่งที่กำหนดให้ และสิ่งที่ต้องการหา

$\dfrac{2}{3} = \left ( \dfrac{1}{k^2+1} \right ) ^2 + \left( 1-\dfrac{k}{k^2+1} \right ) ^2$
จัดรูปจะได้
$k^4-6k^3+5k^2-6k+4=0$
$(k^2+1)(k^2-6k+4)=0$

ทำให้สรุปได้ว่า $k=3-\sqrt{5}$ จบเลิก

[Scylla_Shadow]

ข้อ 20 ตอนแรกคิดว่าเอาเวกเตอร์ dot/cross แล้วจะออก
สุดท้ายลองทำแล้วนึกไม่ออก เลยอัดแกน(แม่ง)
นึกวิธีเรขาสวยๆไม่ออกค่ะ

ให้ $E=(0,0,0)$
1. หาพิกัด A,B,C,D
จากโจทย์เป็นพิระมิดตรง ที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 64 หน่วย และสูง 16 หน่วย ให้
$A=(32,-32,-16)$
$B=(32,32,-16)$
$C=(-32,32,-16)$
$D=(-32,-32,-16)$ (จะเปลี่ยนพิกัดก็ได้นะคะ แต่ขี้เกียจ)

2. หาพิกัด $P,Q,R$
สังเกตว่าความยาวสันคือ $\sqrt{16^2+32^2+32^2}=48$
จะหาพิกัดของ P,Q,R โดยเทียบอัตราส่วน
พิกัด $P$: $(\dfrac{12}{48}\cdot 32,-\dfrac{12}{48}\cdot 32,\dfrac{12}{48}\cdot 16)=(8,-8,-4)$ จาก $PE=12$
พิกัด $Q$: $(\dfrac{24}{48}\cdot 32,\dfrac{24}{48}\cdot 32,\dfrac{24}{48}\cdot 16)=(16,16,-8)$ จาก $QE=24$
พิกัด $R$: $\left (-\dfrac{8}{48}\cdot 32,\dfrac{8}{48}\cdot 32,\dfrac{8}{48}\cdot 16 \right )=\left (-\dfrac{32}{6},\dfrac{32}{6},-\dfrac{16}{6} \right )$ จาก $RE=8$

3. หาสมการระนาบที่ผ่าน P,Q,R
ให้สมการระนาบคือ $ax+by+cz=-32$ (เลือกเลขอื่นแทน -32 ก็ได้ค่ะ)
จากสมการผ่านP,Q,R จะได้
$-8a+8b-4c=-32$
$16a+16b-8c=-32$
$-32a+32b-16c=-6\cdot 32$

แก้ระบบสมการได้ $a=2,b=1,c=10$
นั่นคือสมการระนาบคือ $2x+y+10z=-32$

4. หา $SE$
ให้ $\dfrac{SE}{DE}=t$
จะได้ว่าพิกัดของ $SE$ คือ $\left ( -32t,-32t,-16t \right )$
ทำให้ได้ว่า $2(-32t)+1(-32t)+10(-16t)=-32$
$2t+t+5t=1$
$t=\dfrac{1}{8}$

จะได้ $SE=\dfrac{1}{8}\cdot {48} =6$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ otakung

ผมเพิ่งนึกได้ว่ามีอยู่ 3 ข้อที่ยังไม่แน่ใจว่าทำยังไง รบกวนแนะนำด้วยครับ ขอบคุณครับ

ก็คือข้อ 11 (ข้อนี้ผมได้สมการมาแล้วก็ลองแทนค่าได้ แต่ยังนึกไม่ออกว่าจะแก้สมการยังไง),
17 (ผมคิดว่า 2 จุดที่ไกลที่สุดน่าจะเป็นมุมตรงข้ามกัน แต่ไม่แน่ใจ)
และ 22 ครับ (ข้อนี้กดเครื่องคิดเลขเอา )

สวัสดีค่ะ
ขอเสนอแนะดังนี้ค่ะ

ข้อ11. คิดว่าสมการที่ได้คือ $\dfrac{\sin (x)}{\sin (75^{\circ}-x)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} $
เสนอให้เขียน $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ เป็น $\dfrac{\sin (30^{\circ}}{\sin (40^{\circ})}$ แล้วแก้สมการ จะง่ายกว่าค่ะ

17. ใช่ค่ะ ตามที่คิดไว้เลยค่ะ

22. ถ้าลองวาดวงเลมหนึ่งหน่วย ใหญ่ๆ แล้วลองพิจารณาค่าทั้งสาม จะสามารถเปรียบเทียบได้ไม่ยากค่ะ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

มีอีกหลายข้อเลยที่ยังคิดไม่ออก แต่ขอรบกวนข้อ 19, 20, 21 ด้วยนะครับ มันคาใจมากเลย

20,21 มีคนมาตอบแล้วค่ะ

19. ให้ทรงกลมใหญ่มีรัศมี $1$ หน่วย และทรงกลมเล็กมีรัศมี $r$ หน่วย

พิจารณา ระยะทางจากจุดศูนย์กลางทรงกลมทั้งสองเท่ากับ $1+r$ หน่วย
แต่เราสามารถหาระยะทางจากจุดศุนย์กลางทั้งสองด้วยพิทากอรัสได้ค่ะ

ถ้ากำหนดให้จุดยอดล่างซ้ายด้านหน้า เป็นจุดกำเนิด
พิจารณาระยะห่างในแนวแกน $x$ ของ ศก ทั้งสองคือ $1-r$
ระยะห่างในแนวแกน $x$ ของ ศก ทั้งสองคือ $1-r$
ระยะห่างในแนวแกน $x$ ของ ศก ทั้งสองคือ $1-r$

นั่นคือ ศก ทรงกลมทั้งสองอยู่ห่างกัน $\sqrt{(1-r)^2+(1-r)^2+(1-r^2)}$

จะได้ $1+r=\sqrt{3(1-r)^2}$
$1+2r+r^2=3-6r+3r^2$
$2r^2-8r+2=0$
$r=2-\sqrt{3}$

ดังนั้น $\dfrac{1}{r}=2+\sqrt{3}$ ค่ะ

[gon]

ข้อ 13. ผมให้ $AP = \sqrt{3}, RP = \sqrt{2}, AB = x$ และ $\angle AQB = \theta$

จะได้ $QR = \sqrt{3}\sin \theta, RB = x\sin \theta$

ในรูปสามเหลี่ยม ARB โดย Stewart's theorem จะได้ $RP^2 = \frac{PB \cdot AR^2 + AP\cdot RB^2}{AP+PB} - AP\cdot PB$

แทนค่าลงไปก็จะแก้สมการหาค่า $x$ ได้ครับ.

[narongratp]

ขอบคุณครับ

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

สวัสดีค่ะ
ขอเสนอแนะดังนี้ค่ะ

ข้อ11. คิดว่าสมการที่ได้คือ $\dfrac{\sin (x)}{\sin (75^{\circ}-x)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} $
เสนอให้เขียน $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ เป็น $\dfrac{\sin (30^{\circ}}{\sin (40^{\circ})}$ แล้วแก้สมการ จะง่ายกว่าค่ะ

17. ใช่ค่ะ ตามที่คิดไว้เลยค่ะ

22. ถ้าลองวาดวงเลมหนึ่งหน่วย ใหญ่ๆ แล้วลองพิจารณาค่าทั้งสาม จะสามารถเปรียบเทียบได้ไม่ยากค่ะ

ขอบคุณครับ แต่ผมยังหาทางเอา $7sin(1^{\circ})$ ไปอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วยไม่ได้เลย รู้สึกว่ามันต้องอยู่บนวงกลม 7 หน่วยแทน

[เสือน้อย]

ข้อ 15 ผมหาค่ารัศมีวงกลม C ได้ $2\left(\,3-2\sqrt{2} \right) $ แต่ยังหารัศมีวงกลม D ไม่ได้เลยครับ ดูจากคำตอบท่านอื่นแสดงว่ารัศมีวงกลม D เหมือนจะเป็นครึ่งหนึ่งของวงกลม C แต่ด้วยเหตุผลใด

[Thgx0312555]

รู้สึกว่ามีคนจำนวนมากต้องการเฉลยข้อ 20 แบบไม่อัดแกน จึงจัดให้ครับ

20. สมมติว่าระนาบ $PQRS$ ตัดเส้นส่วนสูงที่ $O$
นำมาวาดในระนาบจะได้รูปสองรูปดังนี้ครับ

//เพื่อไม่เป็นการเอาเปรียบคนที่ทำข้อสอบ จึงต้องใช้มือวาดครับ (จริงๆก็ขี้เกียจน่ะแหละ)

เนื่องจากส่วนสูงของพีระมิดยาว $16$ และสันของพีระมิดยาว $48$ จึงได้ $\cos \theta = \dfrac{1}{3}$

ดังนั้น $CE=\dfrac{8}{3}, AE=4$ จะได้ $AC=\dfrac{4}{3}$
ต่อมาพิจารณา $AO:CO=AP:CR=3:2$ จะได้ $AO=\dfrac{4}{5}$
นั่นคือ $OE=\dfrac{16}{5}$

ต่อมาในรูปที่สอง
เนื่องจาก $\frac{DO}{BO}=\frac{SD}{QB}=\frac{DE}{BE}$
ดังนั้น $DO \cdot BE=DE \cdot BO$

ให้ $DE=a$

จะได้ $(\dfrac{16}{5}-a)8=\dfrac{24}{5}a$
$(\dfrac{16}{5})8=\dfrac{64}{5}a$
หรือ $a=2$

ดังนั้น $SE=6$ เป็นคำตอบสุดท้าย

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

ข้อ 15 ผมหาค่ารัศมีวงกลม C ได้ $2\left(\,3-2\sqrt{2} \right) $ แต่ยังหารัศมีวงกลม D ไม่ได้เลยครับ ดูจากคำตอบท่านอื่นแสดงว่ารัศมีวงกลม D เหมือนจะเป็นครึ่งหนึ่งของวงกลม C แต่ด้วยเหตุผลใด

ถ้าให้จุดศูนย์กลางวงกลม C และ D คือจุด C และ D ตามลำดับ และจุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลมใหญ่เป็นจุด O
1. สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก COM ได้ CM = MO = $2-c$, CO = $2+c$ ได้ $c = 2(3-2\sqrt{2})$

2. สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก CDN จะได้ CD = $c+d$, DN = $c-d$ จะได้ CN = $2\sqrt{cd} = (4-2\sqrt{2})\sqrt{d}$

3. สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก DOP จะได้ DO = $2+d$, OP = $2-d$ จะได้ DP = $2\sqrt{2d}$

4. PD + CN = $2-c$ จะได้ $4\sqrt{d} = 4\sqrt{2}-4$ แก้สมการได้ $d = \sqrt{3}-2\sqrt{2}$


ขออภัยครับ พอดีทำรูปไม่เป็น

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

รู้สึกว่ามีคนจำนวนมากต้องการเฉลยข้อ 20 แบบไม่อัดแกน จึงจัดให้ครับ

20. สมมติว่าระนาบ $PQRS$ ตัดเส้นส่วนสูงที่ $O$
นำมาวาดในระนาบจะได้รูปสองรูปดังนี้ครับ
Attachment 18494
//เพื่อไม่เป็นการเอาเปรียบคนที่ทำข้อสอบ จึงต้องใช้มือวาดครับ (จริงๆก็ขี้เกียจน่ะแหละ)

เนื่องจากส่วนสูงของพีระมิดยาว $16$ และสันของพีระมิดยาว $48$ จึงได้ $\cos \theta = \dfrac{1}{3}$

ดังนั้น $CE=\dfrac{8}{3}, AE=4$ จะได้ $AC=\dfrac{4}{3}$
ต่อมาพิจารณา $AO:CO=AP:CR=3:2$ จะได้ $AO=\dfrac{4}{5}$
นั่นคือ $OE=\dfrac{16}{5}$

ต่อมาในรูปที่สอง
เนื่องจาก $\frac{DO}{BO}=\frac{SD}{QB}=\frac{DE}{BE}$
ดังนั้น $DO \cdot BE=DE \cdot BO$

ให้ $DE=a$

จะได้ $(\dfrac{16}{5}-a)8=\dfrac{24}{5}a$
$(\dfrac{16}{5})8=\dfrac{64}{5}a$
หรือ $a=2$

ดังนั้น $SE=6$ เป็นคำตอบสุดท้าย

รูปมันดูไม่ได้อ่ะครับ

[Thgx0312555]

รูปขึ้นแล้วครับ

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

รูปขึ้นแล้วครับ

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ

[เสือน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 13. ผมให้ $AP = \sqrt{3}, RP = \sqrt{2}, AB = x$ และ $\angle AQB = \theta$

จะได้ $QR = \sqrt{3}\sin \theta, RB = x\sin \theta$

ในรูปสามเหลี่ยม ARB โดย Stewart's theorem จะได้ $RP^2 = \frac{PB \cdot AR^2 + AP\cdot RB^2}{AP+PB} - AP\cdot PB$

แทนค่าลงไปก็จะแก้สมการหาค่า $x$ ได้ครับ.

คุณ gon ครับ ลองแทนค่าแล้ว แต่ว่ายังติดต่า $x , \sin\theta$ เลยแก้ไม่ออกอ่ะครับ