IJSO 2559

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

คุณ gon ครับ ลองแทนค่าแล้ว แต่ว่ายังติดต่า $x , \sin\theta$ เลยแก้ไม่ออกอ่ะครับ

$\sin \theta = \frac{AB}{BQ} = \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}$ ครับ.

ถ้าแทนเสร็จ จัดรูป จะได้สมการ $4x^2-6\sqrt{3}x+3=0$

[เสือน้อย]

ขอบคุณครับ

[Uncle Laem]

ข้อ23 มีวิธีคิดแบบง่ายๆไหมครับ ผมต้องใช้การถึกถึงจะได้คำตอบ= 1/5

[Chalard]

ข้อ 13. คุณ gon น่าจะกำหนดให้มุม QAR เป็นมุม AQB รึเปล่าครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Uncle Laem

ข้อ23 มีวิธีคิดแบบง่ายๆไหมครับ ผมต้องใช้การถึกถึงจะได้คำตอบ= 1/5

วิธีปกติครับ ก็ไม่ค่อยถึกนะ::
$\sin A \cos A = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
จาก $\sin^2 A + \cos ^2 A =1$
ยกกำลังสอง
$\sin^4 A + 2\sin^2A \cos^2A+\cos ^4 A=1$ จะได้ $\sin^4A+\cos^4A=\dfrac{3}{5}$
ต่อมา
$\sin^6A+\cos^6A=(\sin^2A+\cos^2A)(\sin^4A-\sin^2A\cos^2A+\cos^4A)=\dfrac{2}{5}$

ดังนั้น $(\sin^4A+\cos^4A)(\sin^6A+\cos^6A)=\dfrac{6}{25}$
$\sin^{10}A+\cos^{10}A+\sin^4A\cos^4A(\sin^2A+\cos^2A)=\dfrac{6}{25}$
จะได้ $\sin^{10}A+\cos^{10}A=\dfrac{1}{5}$

[Thgx0312555]

13. Another Alternative Solution ที่ออกไปทางเรขาครับ
ยืมรูปหน่อย

โดยไม่เสียนัยทั่วไป จะสามารถให้ $AB=1$

จากกฎของ cosine
$RP^2=AR^2+AP^2-2AR\cdot AP\cos RAP$

$\dfrac{2}{3}AP^2=AR^2+AP^2-2AR\cdot AP\cdot \dfrac{AR}{AB}$

$0=AR^2+\dfrac{1}{3}AP^2-2AR^2\cdot AP$

$AR^2(2AP-1)=\dfrac{1}{3}AP^2$

$\therefore \dfrac{AP^2}{AR^2}=6AP-3$

แต่โดยสามเหลี่ยมคล้าย
$\dfrac{AP^2}{AR^2}=\dfrac{AQ^2}{AR^2}=\dfrac{BQ^2}{AB^2}=BQ^2=AQ^2+AB^2=AP^2+1$

ดังนั้น $AP^2+1=6AP-3$
$AP^2-6AP+4=0$

$AP=\dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2}=3 \pm \sqrt{5}$ แต่ $AP<1$ จึงเลือกค่า $AP=3-\sqrt{5}$ ครับ

[Uncle Laem]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

วิธีปกติครับ ก็ไม่ค่อยถึกนะ::
$\sin A \cos A = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
จาก $\sin^2 A + \cos ^2 A =1$
ยกกำลังสอง
$\sin^4 A + 2\sin^2A \cos^2A+\cos ^4 A=1$ จะได้ $\sin^4A+\cos^4A=\dfrac{3}{5}$
ต่อมา
$\sin^6A+\cos^6A=(\sin^2A+\cos^2A)(\sin^4A-\sin^2A\cos^2A+\cos^4A)=\dfrac{2}{5}$

ดังนั้น $(\sin^4A+\cos^4A)(\sin^6A+\cos^6A)=\dfrac{6}{25}$
$\sin^{10}A+\cos^{10}A+\sin^4A\cos^4A(\sin^2A+\cos^2A)=\dfrac{6}{25}$
จะได้ $\sin^{10}A+\cos^{10}A=\dfrac{1}{5}$

ขอบคุณมากครับ
ผมก็คิดแบบนี้เช่นกัน เห็นสมาชิกหลายๆ ท่าน มักจะมีวิธีคิดหลายๆ แบบมานำเสนออยู่เสมอครับ อย่างเช่น ข้อ 13 ที่คุณ Thgx0312555 นำเสนอ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Chalard

ข้อ 13. คุณ gon น่าจะกำหนดให้มุม QAR เป็นมุม AQB รึเปล่าครับ

เปล่าครับ ผมให้ $\theta = \angle AQB$

ข้อ 23 ตรง $\sin^6A + \cos^6A $ อาจจะคิดมาจากเอกลักษณ์ ถ้า $a+b+c=0$ แล้ว $a^3+b^3+c^3=3abc$ ก็ได้ครับ.

กล่าวคือเนื่องจาก $\sin^2A + \cos^2A +(-1) = 0$

ดังนั้น $\sin^6A + \cos^6A -1 = -3\sin^2A\cos^2A = -\frac{3}{5}$

[เสือน้อย]

เห็นแต่ละวิธีแล้วเจ๋งๆทั้งนั้นเลย อยากรบกวนข้อ 14 ด้วยครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

เห็นแต่ละวิธีแล้วเจ๋งๆทั้งนั้นเลย อยากรบกวนข้อ 14 ด้วยครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

ให้ AE = $x$ ดังนั้น DE = $a-x$

สี่เหลี่ยม ABCE ล้อมรอบวงกลม จะได้ AB + CE = AE + BC เพราะฉะนั้น CE = $a+x-1$

สามเหลี่ยม CDE ใช้พีทาโกรัสจะได้ว่า
$(a+x-1)^2 - (a-x)^2 = 1$
$(2a-1)(2x-1) = 1$
$x = \frac{(\frac{1}{2a-1} + 1)}{2} = \frac{a}{2a-1}$

สามเหลี่ยม CDE จากสูตรหารัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $r = \frac{2*พื้นที่สามเหลี่ยม}{ผลบวกของด้าน}$
$r = \frac{2*\frac{1}{2}*(a-x)(1)}{2a} = \frac{a-x}{2a} = \frac{a-1}{2a-1}$

จากโจทย์ $r = a - \sqrt{3}$ ดังนั้น $a - \sqrt{3} = \frac{a-1}{2a-1}$
แก้สมการได้ $a = \frac{\sqrt{3} + 1 \pm \sqrt{2}}{2}$ เลือกเครื่องหมายบวกเพราะว่า $a$ ต้องมากกว่า $1$ (จากรูป)

$\therefore a + r = 2a - \sqrt{3} = 1 + \sqrt{2}$

[sahaete]

นานๆ แวะมาครับ
แนวคิดตามรูปครับ

[เสือน้อย]

ขอบคุณผู้รู้ทุกท่าน อยากรบกวนอีกสัก 3 ข้อนะครับ หาคำตอบจาก Wolfram ได้แต่ไม่รู้จะคิดจริงอย่างไร

[otakung]

ข้อ 5.
$\frac{ab-1}{(a-1)(b-1)} = 1+\frac{a+b-2}{(a-1)(b-1)} = 1+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}$

ให้ $x = 2^{\frac{1}{3}}$, $y = 3^{\frac{1}{3}}$

ได้ $1+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1} = 1+\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{x^2+xy+y^2}$
$= 1+\frac{x-1}{x^3-1}+\frac{y-x}{y^3-x^3}$

แทนค่าคืน จะได้
$= 1+2^{\frac{1}{3}}-1+3^{\frac{1}{3}}-2^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3}}$

เพราะฉะนั้น ตอบ 3

======================

ข้อ 8.
เส้นตรง 2 เส้นมีจุดตัดมากกว่า 1 จุดมีกรณีเดียวคือต้องเป็นเส้นตรงเดียวกัน
เพราะฉะนั้น $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{p}{q}$
ก็ไล่แทนค่าทีละตัวเลือกเอาครับ

เช่น A. $a^2dq=ad*aq=bc*pc=bc^2p$
จะได้ว่า B กับ C ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง

======================

ข้อ 10.
$x^2+axy+y^2+a^{2016}=(x+\frac{ay}{2})^2+y^2-\frac{a^2y^2}{4}+a^{2016}$
$= (x+\frac{ay}{2})^2+(\frac{4-a^2}{4})y^2+a^{2016}$

ถ้าพจน์ตรงกลางมีสัมประสิทธิ์เป็นบวกหรือศูนย์ ทั้งก้อนนี้ก็จะเป็นบวกเสมอ
เพราะฉะนั้น $a = 1$

[เสือน้อย]

ขอขอบคุณ คุณ otakung มากเลยครับ ผมว่าข้อสอบยากกว่าปีก่อนนะครับเนี่ย

[otakung]

ของปี 58, 57 ยังไม่ได้ลองทำเลยครับ แต่เทียบกับปี 56, 55, .. ก็เห็นด้วยครับว่ายากขึ้น แต่ละข้อผมนี่ทำนานเลยกว่าจะออก