ข้อสอบ สพฐ. รอบที่ 2 ปี 2558 (มัธยมต้น)

[gon]

ของปีที่แล้ว ก่อนจะสอบพรุ่งนี้

[gon]

เชิญคิดตามสะดวกครับ

[D-a-n-G]

ขอบคุณครับคุณ gon

[Uncle Laem]

ระหว่างรอผู้ใจดี โพสท์ ข้อสอบ สพฐรอบสองของปี 2559 เลยลองนั่งทำของปี 2558 ได้บ้าง ไม่ได้บ้าง รบกวน ช่วยดูให้หน่อยครับ โจทย์ภาษาอังกฤษก็ไม่ค่อยเข้าใจ เท่าที่ได้ตามนี้ครับ
1. ก $ab+bc+ca-3$
2. ง 20 ตารางเซนติเมตร
3. ค. 32
4. ค. $\frac{3\sqrt{3} }{2} $
5. ง. 5
6. 2
7. 72
8. 157
9. 62 แถว
10. 31 คน
11. 104 องศา
12. 82
13. 192
14. (ไม่ชอบพิสูจน์)
15.1
15.2 ไม่เข้าใจ
16. -
17. 42
18. 2
19. 3
20. ไม่เข้าใจ
21. 8 จำนวน
22. 18
23. 4913 = $(4+9+1+3)^3 = 17^3$ (แปลว่า จงหาจำนวน 4 หลักที่มีค่าน้อยที่สุด ที่มีค่าเท่ากับผลรวมของเลขแต่ละหลักยกกำลังสาม ใช่หรือเปล่า เช่น $ABCD = (A+B+C+D)^3$
24. 1058
25. ไม่เข้าใจ
รบกวนช่วยแนะนำด้วยครับ

[narongratp]

ข้อ 25
ลำดับ 1,2,3,4,5
กับ 1,2,3,4,5,6

ถิอว่ามี ค.ร.น. เท่ากัน ได้ n หนึ่งค่า คือ 5

อย่างนี้ละมั้งครับ

ข้อ 16 (ไม่รู้ว่ามากที่สุดหรือเปล่า)

[Uncle Laem]

ข้อที่ 16 ได้คำตอบเช่นเดียวกันครับ
สังเกตจำนวน 699 - 637 = 62, 981 - 919 = 62 และ 1072 - 1010 = 62 สามารถตั้งได้สมการดังนี้
$(1) a + c =637 ,
(2) a + d = 699 ,
(3) b + c = 919 ,
(4) b + d = 981 ,
(5) e + c = 1010 และ
(6) e + d = 1072$
นำสมการทั้ง 6 รวมกัน, $2(a+b+e) + 3(c+d) = 5318$
$a+b+e = 2659 ? \frac{3(c+d)}{2}$
$c+d ต้องเป็นจำนวนคู่ ในที่นี้เหลือจำนวนเดียวคือ 794 $
$a+b+e = 2659 ? \frac{3\times 794}{2}$
$a+b+e = 2659 ? 1191 = 1468$
$ จากสมการ (1) a + c =637 และสมการ (3) b + c = 919, b > a ดังนััน b+e = 1197 ส่วน a+e = 915$
$เมื่อ b+e = 1197$
$แล้ว a = 1468 ? 1197 = 271$
$จากนั้น หาค่าของ b, c, d และ e$
$จะได้ b = 553 , c = 366 , d = 428 และ e = 644$
$ค่ามากทีสุด = 644$

[Uncle Laem]

ข้อ 15.1 รูปซ้ายมือ และ 15.2 ได้ตามรูปนี้

[Thgx0312555]

15.2 โจทย์ให้พิสูจน์ว่าไม่ว่าจะวางสามเหลี่ยม 6 รูปยังไงก็สามารถวาง tetriamond ได้ครับ

[Thgx0312555]

14. Hint 1 หมุน $ADE$ $90$ องศาตามเข็ม
Hint 2 พิสูจน์ $\triangle AHG \sim \triangle EFG$

[gon]

ลองคิดดูบางข้อได้ตามนี้ครับ.

ข้อ 20. ตอบ 400

ลาก BE กับ BD จะได้ รูปสามเหลี่ยม BDE เท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยม BDE' (ด.ด.ด.)

ดังนั้น [BE'CDE] = 2[BDE'] = 2(1/2)(20)(20) = 400

ข้อ 21. ตอบ 240

ให้ $P(n) = n+2n^2+...+2015n^{2015}$

โดย ทบ.เศษเหลือจะได้ $P(1) = 1008 \times 2015$

แสดงว่า $n - 1$ ต้องเป็นตัวประกอบที่เป็นบวกของ $1008 \times 2015 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 5$ ซึ่งมีอยู่ทั้งหมด 240 จำนวน

ข้อ 24. ตอบ 578

$ab = 120, a^2+b^2=[(40-(a+b)]^2$

(ถ้าหา a, b, c ออกมาจะได้ 8, 15, 17 แต่ไม่จำเป็นต้องหา)

[Uncle Laem]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ลองคิดดูบางข้อได้ตามนี้ครับ.

ข้อ 20. ตอบ 400

ลาก BE กับ BD จะได้ รูปสามเหลี่ยม BDE เท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยม BDE' (ด.ด.ด.)

ดังนั้น [BE'CDE] = 2[BDE'] = 2(1/2)(20)(20) = 400

ข้อ 21. ตอบ 240

ให้ $P(n) = n+2n^2+...+2015n^{2015}$

โดย ทบ.เศษเหลือจะได้ $P(1) = 1008 \times 2015$

แสดงว่า $n - 1$ ต้องเป็นตัวประกอบที่เป็นบวกของ $1008 \times 2015 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 5$ ซึ่งมีอยู่ทั้งหมด 240 จำนวน

ข้อ 24. ตอบ 578

$ab = 120, a^2+b^2=[(40-(a+b)]^2$

(ถ้าหา a, b, c ออกมาจะได้ 8, 15, 17 แต่ไม่จำเป็นต้องหา)

ข้อที่ 20 งงตรงที่โจทย์ให้หาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยม
ข้อที่ 21 ยังงงนิดๆ ว่า n ต้องมากกว่า 1 เดี๋ยวพยายามทำความเข้าใจอีกที
ข้อที่ 24 คิดเหมือนกัน ผิดตรงที่การบวกลบ ได้ c = 23 ยังไม่สำนึกว่า a+b ต้องมากว่า c

ขอบคุณมากครับ

ส่วนข้อที่ 23
ตีความได้ 2 แบบ หรือเปล่า
แบบที่ 1 $ABCD =1000A + 100B + 10C + D = A^3+B^3+C^3+D^3$
แบบที่ 2 $ABCD =1000A + 100B + 10C + D = (A+B+C+D)^3$
คิดตามแบบที่ 1 ยังคิดไม่ออก
แต่คิดตามแบบที่ 2 จะได้ 4913 กับ 5832 โดย 4913 เป็นจำนวน 4 หลัก ที่น้อยที่สุด

[otakung]

ข้อ 23 น่าจะแปลได้แบบที่ 2 แบบเดียวนะครับ
the cube of the (sum of its digits)

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Uncle Laem

ข้อที่ 20 งงตรงที่โจทย์ให้หาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยม
ข้อที่ 21 ยังงงนิดๆ ว่า n ต้องมากกว่า 1 เดี๋ยวพยายามทำความเข้าใจอีกที
ข้อที่ 24 คิดเหมือนกัน ผิดตรงที่การบวกลบ ได้ c = 23 ยังไม่สำนึกว่า a+b ต้องมากว่า c

ขอบคุณมากครับ

ส่วนข้อที่ 23
ตีความได้ 2 แบบ หรือเปล่า
แบบที่ 1 $ABCD =1000A + 100B + 10C + D = A^3+B^3+C^3+D^3$
แบบที่ 2 $ABCD =1000A + 100B + 10C + D = (A+B+C+D)^3$
คิดตามแบบที่ 1 ยังคิดไม่ออก
แต่คิดตามแบบที่ 2 จะได้ 4913 กับ 5832 โดย 4913 เป็นจำนวน 4 หลัก ที่น้อยที่สุด

ข้อ 20. คือ BC = 20, DE'= 20 ครับ และ รูปสามเหลี่ยม ABE เท่ากันทุกประการกับ รูปสามเหลี่ยม BCE' ด้วย


ข้อ 21. ลองคิดแบบเล็กลงก็ได้ครับ เช่นถ้า $P(n) = n+2n^2+3n^3 = (n-1)+2(n^2-1)+3(n^3-1) + 6$

แต่ละวงเล็บ ยกเว้นตัวท้ายสุด จะมี $n-1$ เป็นตัวประกอบ

ดังนั้นจำนวนเต็มบวก n ต้องสอดคล้องกับสมการ $n-1=1,2,3,6$

นั่นคือ $n=2, 3, 4, 7$ มี 4 จำนวนที่เป็นไปได้

ข้อ 23. ถ้าจะแปลตามแบบที่ 1. ควรจะเขียนประมาณว่า sum of the cube of its digits มั้งครับ.

ซึ่งถ้าแปลแบบนี้ ดูเหมือนจะไม่มีผลเฉลยครับ.

[Uncle Laem]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 20. คือ BC = 20, DE'= 20 ครับ และ รูปสามเหลี่ยม ABE เท่ากันทุกประการกับ รูปสามเหลี่ยม BCE' ด้วย


ข้อ 21. ลองคิดแบบเล็กลงก็ได้ครับ เช่นถ้า $P(n) = n+2n^2+3n^3 = (n-1)+2(n^2-1)+3(n^3-1) + 6$

แต่ละวงเล็บ ยกเว้นตัวท้ายสุด จะมี $n-1$ เป็นตัวประกอบ

ดังนั้นจำนวนเต็มบวก n ต้องสอดคล้องกับสมการ $n-1=1,2,3,6$

นั่นคือ $n=2, 3, 4, 7$ มี 4 จำนวนที่เป็นไปได้

ข้อ 23. ถ้าจะแปลตามแบบที่ 1. ควรจะเขียนประมาณว่า sum of the cube of its digits มั้งครับ.

ซึ่งถ้าแปลแบบนี้ ดูเหมือนจะไม่มีผลเฉลยครับ.

ขอบคุณครับ

[Hutchjang]

รบกวน ข้อ 18 กับ ข้อ 22 หน่อยครับ ทำยังไงครับ