ถามโจทย์หน่อยครับ

[butare]

มี 4 ข้อ ตามรูปครับ ช่วยแนะวิธีคิดหน่อย
ขอบคุณครับ

[NaPrai]

ขอแนะนำให้รู้จักกับ Newton's Sum ซึ่งได้กล่าวไว้ว่า พิจารณาพหุนาม $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ โดยที่พหุนาม $P(x)=0$ มีรากเป็น $x_1,x_2,...,x_n$ และกำหนด $P_k=x_1^k+x_2^k+...+x_n^k$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ จะได้ว่า

$a_nP_1+a_{n-1}=0$,
$a_nP_2+a_{n-1}P_1+2a_{n-2}=0$,
$a_nP_3+a_{n-1}P_2+a_{n-2}P_1+3a_{n-3}=0$, เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ

กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นรากทั้งหมดของพหุนาม ดังนั้น พหุนามดังกล่าวมีดีกรีเท่ากับ $3$
โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้ $a_3=1$ จากโจทย์ข้อที่หนึ่งก็จะได้ว่า $P_1=1, P_2=2, P_3=3$
ดังนั้นจาก

$a_3P_1+a_2=0$
$a_3P_2+a_2P_1+2a_1=0$
$a_3P_3+a_2P_2+a_1P_1+3a_0=0$

จากการแก้สมการได้ว่า $a_2=-1, a_1=-\frac{1}{2}, a_0=-\frac{1}{6}$

ดังนั้น จาก $a_3P_4+a_2P_3+a_1P_2+a_0P_1=0$ แทนค่าเข้าไปจะได้ $P_4=\frac{25}{6}$
และจาก $a_3P_5+a_2P_4+a_1P_3+a_0P_2=0$ แทนค่าเข้าไปจะได้ $P_5=6$

[NaPrai]

ข้อสอง พิจารณา $0=3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$
ซึ่งจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $a=b=c$ ซึ่งได้ว่า $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$
นั่นคือ $a^4+b^4+c^4=\frac{1}{3}$

[butare]

ขอบคุณมากครับ
ข้ออื่นพอช่วยแนะได้บ้างไหมครับ
ปล. ข้อ 4 ไม่เป็นไร คิดได้แล้ว ขอบคุณครับ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NaPrai

ขอแนะนำให้รู้จักกับ Newton's Sum ซึ่งได้กล่าวไว้ว่า พิจารณาพหุนาม $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^n-1+...+a_1x+a_0$ โดยที่พหุนาม $P(x)=0$ มีรากเป็น $x_1,x_2,...,x_n$ และกำหนด $P_k=x_1^k+x_2^k+...+x_n^k$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ จะได้ว่า

$a_nP_1+a_{n-1}=0$,
$a_nP_2+a_{n-1}P_1+2a_{n-2}=0$,
$a_nP_3+a_{n-1}P_2+a_{n-2}P_1+3a_{n-3}=0$, เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ

กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นรากทั้งหมดของพหุนาม ดังนั้น พหุนามดังกล่าวมีดีกรีเท่ากับ $3$
โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้ $a_3=1$ จากโจทย์ข้อที่หนึ่งก็จะได้ว่า $P_1=1, P_2=2, P_3=3$
ดังนั้นจาก

$a_3P_1+a_2=0$
$a_3P_2+a_2P_1+2a_1=0$
$a_3P_3+a_2P_2+a_1P_1+3a_0=0$

จากการแก้สมการได้ว่า $a_2=-1, a_1=-\frac{1}{2}, a_0=-\frac{1}{6}$

ดังนั้น จาก $a_3P_4+a_2P_3+a_1P_2+a_0P_1=0$ แทนค่าเข้าไปจะได้ $P_4=\frac{25}{6}$
และจาก $a_3P_5+a_2P_4+a_1P_3+a_0P_2=0$ แทนค่าเข้าไปจะได้ $P_5=6$

น่าจะเข้าใจ นิวตันรีเลชั่นผิดป่ะครับ
หรือว่าผมเข้าใจผิดหว่า

[tngngoapm]

ถ้าเข้าใจถูกลองแสดงวิธีทำการหาค่าของ $x^2+y^2+z^2$
เมื่อกำหนดให้ $x^5+y^5+z^5=6$,$x^4+y^4+z^4=\frac{25}{6} $,$x^3+y^3+z^3=3$
ดูครับ...