หาเศษเหลือจากการหารพหุนาม

[Supermath]

จงหาเศษเหลือจากการหารพหุนาม $x^{81}+x^{41}+x^{25}+x^{3}+x^{1}$ ด้วย $ x^{3}-x^{1}$ คือผมอยากใช้ทบเศษเหลือ เเต่ตัวหารมีหลายค่าที่เเทนเเล้ว $P(c)=0$ เเล้วจะทำยังไงครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Supermath

จงหาเศษเหลือจากการหารพหุนาม $x^{81}+x^{41}+x^{25}+x^{3}+x^{1}$ ด้วย $ x^{3}-x^{1}$ คือผมอยากใช้ทบเศษเหลือ เเต่ตัวหารมีหลายค่าที่เเทนเเล้ว $P(c)=0$ เเล้วจะทำยังไงครับ

ถ้าทำแบบวิธีปกติ ก็สมมติให้

$x^{81}+x^{41}+x^{25}+x^{3}+x^{1} = (x^3-x)Q(x) + ax^2+bx+c$

จากนั้นแทน $x = -1, 0, 1$ แล้วแก้ระบบสมการ หาค่า $a, b, c$ ออกมาครับ.

[tngngoapm]

การหาเศษเหลือพหุนามสำหรับพหุนามตัวหารที่มีรากของสมการเป็นจำนวนจริงหลายค่านั่นมีมุมมองเชิงเรขาคณิตอยู่นะครับ เช่นถ้าตัวหารมีรากสมการ3ค่า การหาเศษเหลืออาจมองปัญหาใหม่ได้ว่าคือการหาฟังก์ชันพาราโบลาที่ผ่านจุดสามจุด ซึ่งวิธีการแก้ปัญหาที่เราคุ้นเคยกันก็คือมุมมองแบบพีชคณิตคือการแก้สมการ แต่จริงจริงแล้วยังมีมุมมองการแก้ปัญหาอีกวิธีหนึ่งคือมุมมองทางเรขาคณิตซึ่งจะให้คำตอบเหมือนกันกับวิธีการแก้สมการ แต่จะทำให้ผู้แก้ปัญหาเห็นภาพรวมของหมวดหมู่ปัญหาได้ค่อนข้างดีสำหรับผู้ที่มองเห็นมายาคติ(magic of number)ของตัวเลขที่เมื่อจมลงไปแล้วจะเกิดความหลงใหลอย่างน่าพิศวง ซึ่งแน่นอนผมก็เป็นหนึ่งในจำนวนนั้น