โจทย์ IWYMIC 2017

[nowhere]

The sum of the non-negative real number $x_{1},x_{2},...,x_{8}$ is 8. Find the largest possible value of the expression $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4}+...+x_{7}x_{8}$.

[จูกัดเหลียง]

Let $x_1=\max\left\{\,x_1,x_2,...x_8\right\} $
$$x_1x_2+x_2x_3+...x_7x_8\le x_1(x_2+x_3+...+x_8)=x_1(8-x_1)\le \Big(\frac{x_1+(8-x_1)}{2}\Big)^2=16$$

The equation occurs at $(4,4,0,0...,0)$or its permutations.

[nowhere]

Find all ordered pairs (x, y) of positive integers which satisfy the equation $x^{3}+y^{3}=x^{2}+18xy+y^{2}$.

The quadrilateral ABCD is inscribed in a circle with center O. Connect AC and BD intersecting at K. $O_{1}$ is the circumcenter of triangle ABK and $O_{2}$ is the circumcenter of triangle CDK. A line l through K intersect the two circumcircles at E and F respectively, and the circumcircle of ABCD at G and point H. Prove that EG = FH.

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nowhere

Find all ordered pairs (x, y) of positive integers which satisfy the equation $x^{3}+y^{3}=x^{2}+18xy+y^{2}$.

ใช้วิธีถึกนะครับ 55
Let $x<y,$ from AM-GM inequality $,$ $$y^3<x^3+y^3=x^2+18xy+y^2<6(x^2+y^2)<12y^2$$

เเล้วเเททนค่า $2\le y<12$ เอาครับเพื่อหาค่า $x$

[otakung]

ของผมทำอีกแบบนึง แต่ก็ถึกอยู่ดี 55 วิธีไม่ถึกทำได้ครึ่งเดียว (ได้มา 1 จาก 2 กรณี) แล้วมันต่อไม่ได้

ให้ $a=x+y, b=xy$ แทนค่าแล้วจัดรูปจะได้
$a^3=a^2+b(3a+16)\leqslant a^2+\frac{a^2}{4}(3a+16) $ => จาก AM-GM: $b\leqslant \frac{a^2}{4} $

ยุบอสมการจะได้ $2\leqslant a\leqslant 20$
จัดรูปอีกที $b=\frac{a^2(a-1)}{3a+16} $

ไล่แทนค่า $a$ ไป คิดว่าจัดรูปแบบนี้จะแทนค่าหา $b$ ไม่ยากมาก น่าจะพอถึกไหว

[Amankris]

Find all ordered pairs (x, y) of positive integers which satisfy the equation $x^{3}+y^{3}=x^{2}+18xy+y^{2}$.

ให้ $a=\dfrac{x}{\gcd (x,y)},b=\dfrac{y}{\gcd(x,y)}$

จะได้ $a^3+b^3|a^2+18ab+b^2$ และ $\gcd(a,b)=1$

ดังนั้น $a^2-ab+b^2|19$

นั่นคือ $3a^2+(a-2b)^2=4,76$

จะได้ $(a,b)=(1,1),(3,5),(5,3)$

ทำให้ $(x,y)=(10,10),(6,10),(10,6)$