|
|
#1
07 พฤศจิกายน 2020, 23:55
|
|||
|
|||
ข้อสอบSMEคณิต62 นว.
ตอนที่ 1 ข้อ 1-10 ข้อละ 2 คะแนน
1.กำหนด $[(p\rightarrow q) \land(p \lor s)] \rightarrow (r \rightarrow s)$ เป็นรูปแบบของประพจน์ จงหาว่าจำนวนผลคูณระหว่างค่าความจริงที่เป็นจริง และค่าความจริงที่เป็นเท็จของรูปแบบประพจน์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเท่าใด 2. กำหนดให้ $ g(x)=\frac{x+1}{x}$ และ $x \ne 0$ ถ้า $(gof)(x)=x$ แล้วจงหาค่าของ $\frac{(g-f^{-1})(2563)}{2563} $ 3. กำหนดให้พาราโบลา $y=ax^2+bx+c $ ผ่านจุด $ (0,0),(-1,-3)$ และ $(-2,-4)$ โดยพาราโบลา ตัดแกน $x$ ที่จุด $p$ และ $q$ ถ้าวงกลม $pq$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และสมการของวงกลมอยู่ในรูป $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ แล้วจงหาค่าของ $k+r-h$ 4. ถ้า $(2+i)$ เป็นรากหนึ่งของสมการ $f(x)=2x^3+ax^2+bx+10$ แล้ว $ f(1)+f(-1)$ มีค่าเท่าใด 5. กำหนด$ a_n$ เป็นลำดับเลขคณิต โดยมี $d$ เป็นผลต่างร่วม ซึ่ง $d \ne 0 $ ถ้า$ \sum_{n=100}^{200}=c\sum_{n=100}^{200} (-1)^{n}a_{n}$ จงหาค่าของ $c$ 6. จงหาค่าของ $sin^2(\frac{1}{2}arccos(\frac{3}{5})-2arctan(-\frac{1}{2}))$ 7. จงหาส่วนจริงของ $\frac{(1+i)^{10}}{1+i}$ ตอนที่ 2 ข้อ 11-30 ข้อละ 4 คะแนน 11. กำหนดให้ $a(x)=x+1 \; , b(x)=x-1\; , c(x)=x^2+1 \; , d(x)=x^2-1 $ ถ้า $aof(x)+bog(x)=2$ และ $cof(x)-dog(x)=4x$ โดยที่ $h(x-1)=x^3-3x^2+3x+10$ และ $h^{-1}(x)=A$ จงหาค่าของ $hogof(A)$ 12.วงรีมีแกนเแกเป็นส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายเป็นจุดยอดของกราฟสมการ $16x^2-9y^2+64x+18y-89=0$ และแกนโทยาวเป็นครึ่งหนึ่งของแกนสังยุคของสมการดังกล่าว 13. วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ในจัตุภาคที่ 1 สัมผัสแกน$x$ ที่จุด $(3,0)$และสัมผัสเส้นตรง $4y=3x+36$ ที่จุด $M$ จงหาระยะห่างระหว่าง $M$ กับจุดกำเนิด จงหาค่าของความเยื้องวงกลมนี้ 14. ถ้า $a$ เป็นสมาชิกของ $S$ ที่มีค่ามากที่สุด และ $b$ เป็นสมาชิกของ $S$ ที่น้อยที่สุด ซึ่ง $ S=\Bigg\{x\in R \Bigg\|(2^{\sqrt{{\frac{x}{1-x}}}})({{\frac{1}{2}})^\frac{ 13}{6}}=({\frac{1}{2}})^\sqrt{\frac{1-x}{x}}$ $ \Bigg\} $ จงหาค่าของ $13(a+2b)$ 15. จากการสอบถามนักเรียน 100 คน เป็นชาย 60 คน เป็นหญิง 40 คน พบว่ามีนักเรียน 30 คน เล่นฟุตบอล,20คนเล่นบาสเดตบอล,มีนักเรียนชาย 8 คนเล่นฟุตบอล,นักเรียน 6 คนเล่นฟุตบอลและบาสเกตบอล,นักเรียนชาย 12 คนเล่นบาสเกตบอล,นักเรียนชาย 3 คน เล่นทั้ง 2 อย่าง มีนักเรียนที่ไม่เล่นอะไรเลยกี่คน 16. ให้ $A=\{1,a,2,b,3,c\}$ และ $B=\{\ 1,2\}$ จงหาจำนวนสับเซต $S$ ของ $A$ ซึ่ง $S \cap B \ne \emptyset $ 17. กำหนดให้ $m\in{Z}^+$ จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $5$ หาร $ 3^n+6 ลงตัว$ 18. ให้จุด $A(\sqrt{2},\sqrt{2})$ และจุด $B$ ซึ่งอยู่ในจัตุภาคที่ 4 และอยู่บนวงรี $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ ถ้า $\overrightarrow{O B}$ มีขนาด $\frac{12}{\sqrt{31}}$ เมื่อ $O$ เป็นจุดกำเนิดแล้ว $\overrightarrow{O A}$ และ $\overrightarrow{O B}$ ทำมุมกันกี่องศา 19.กำหนดให้ $1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{16}-\frac{x^6}{64}+...$ เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ จงหาผลบวกของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $10^{1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{16}-\frac{x^6}{64}}-10^{\frac{12x}{8x^2+9x-2}}=0$ (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) 20. มีนักกีฬา 6 คนได้แก่ $ A,B,C,D,E $ และ $F$ ต้องการจัดให้คนทั้งหกเข้าหอพักในบ้าน 3 หลัง แต่ละหลังจะพักกี่คนก็ได้ไม่จำกัดจำนวน แต่ต้องมีนักกีฬาเข้าพักทุกหลัง โดยที่ $A$ และ $F$ ต้องการพักหลังเดียวกัน จงหาจำนวนวิธีในการจัดนักกีฬาทั้งงหกคนเข้าพักตามเงื่อนไขที่กำหนด 21. ถ้า $\alpha$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{tan^{2}{\alpha}}+\frac{1}{cot^{2}{\alpha}}+\frac{1}{sin^{2}{\alpha}}+\frac{1}{cos^{2}{\alpha}}=7 $ แล้ว $tan^{2}\alpha$ มีค่าเท่าไร 22. ถ้า $a_n$ เป็นลำดับ $a_n>0$ และ $\frac{{a^{2}_{n+1}}}{a_{n+1}+{2a_{n}}}$ $=a_n $ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และ $r>0$ แล้วค่าของ ${\frac{1}{a_1}}\sum_{n=1}^{10}a_n$ มีค่าเท่าใด 23. กำหนด $csc^2(A+B)-sin^2(A-B)+sin^2(A-3B)=cos^2(B-A)$ โดยที่ $0<A<\frac{\pi}{2}$ และ $0<B<\frac{\pi}{2}$ จงหาค่าของ $sin(A+B)$ 24. ถ้า $0<x<2 \pi$ และ $4sin^{2}x+(1-\sqrt{3})sinxcosx+(-3-\sqrt{3})cos^{2}x$ $=-3$ จงหาผลบวกของสมการนี้(ตอบเป็นองศา) 25. ถ้า $A+I=\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ เมื่อ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้วสมาชิกของ $A^{-1}$ ที่อยู่ในแถวที่สองหลักที่สองมีค่าเท่าไร 26. ถ้า $z_1$ และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $z_{1}z_{2}=2i$ และ $z^{-1}_{1}=cos{\frac{\pi}{6}}-isin{\frac{\pi}{6}}$ แล้ว $\left | (z+cos30z_2)^4 \right | $ มีค่าเท่าไร 28. ถ้า $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $3^{x^2+2x}-3^{x^2+1}-9^{x+1}+27=0 และ B$ เป็นเซตของสมการ $log_{2}x+4log_{x}2=5$ แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $A\cup B$ เท่ากับเท่าไร 29. ถ้า $\bigg( 2^{log_{2}(x^2+2x-6)^{x^2}} \bigg)\bigg((\frac{1}{2})^{log_2(x^2+2x-6)^{2x}}\bigg)=(4)^{\frac{x^2}{2}-x}$ แล้วค่าสัมบูรณืของผลบวกคำตอบทั้งหมดสมการนี้มีค่าเท่าใด 30. ถ้า $a$ เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดของสมการ $2^{2x}+2^{3x}+2^{4x}=2^{-4} $ และ $b^\frac{1}{c}$ เป็นคำตอบที่มากที่สุดของสมการ $log_{1024}x+log_{1024}x^2+...+log_{1024}x^{2020}=2021$ เมื่อ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก $a+b+c$ มีค่าเท่าไร$ \end{document} 
|
|
#2
10 พฤศจิกายน 2020, 09:36
|
|||||||
|
|||||||
|
มาลงแนวคิดคร่าวๆ นะครับ คิดเร็วๆ อาจจะผิดได้ครับ
อ้างอิง:
เราคิดกรณีที่เป็นเท็จกันก่อน เราจะได้ว่า r เป็นจริง s เป็นเท็จ ทำให้เราได้ว่า p กับ q จะเป็นจริงทันที ดังนั้นคือมีกรณีเดียวที่ทำให้ประพจน์เป็นเท็จ จึงได้ว่าอีก 15 กรณีที่เหลือเป็นจริง ผลคูณคือ 15 อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
ด้านซ้าย จะได้ $101a+15049d$ ด้านขวาจะได้ $c(a+149d)$ จะได้ c=101 ครับ อ้างอิง:
$A=arccos(\frac{3}{5})$ และ $B=arctan(-\frac{1}{2})$ โจทย์จึงเป็นการหากำลังสองของ $sin\frac{A}{2}cos2B-sin2Bcos\frac{A}{2}$ จาก $cosA=\frac{3}{5}$ จะได้ว่า $sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}} $ และ $cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+cosA}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}} $ จาก $tanB=-\frac{1}{2}$ จะได้ว่า $sin2B=\frac{2tanB}{1+tan^2 B}=-\frac{4}{5}$ และจะได้ $cos2B=\frac{1-tan^2B}{1+tan^2B}=\frac{3}{5}$ แทนค่าลงไปได้เลยครับ อ้างอิง:
โดยเรารู้ว่า $(1+i)^2=2i$ จะได้ว่า $(1+i)^8=(2i)^4=16$ ดังนั้น $(1+i)^9=16(1+i)=16+16i$ ส่วนจริงก็คือ 16 ครับ
__________________
 ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด  เลย
|
|
#4
11 พฤศจิกายน 2020, 23:13
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\csc^2(A+B)+\sin^2(A-3B) = 1$ แต่ $\csc^2(A+B) \ge 1$ และ $0 \le \sin^2(A-3B) \le 1$ แสดงว่าสมการจะเป็นจริงเมื่อ 
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 
|
|
#6
10 ธันวาคม 2020, 20:27
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 ส่วนแนวคิดข้อนี้คือแปลงเป็น $\sin 2x ,\cos 2x $ จากนั้นก็ normalize สัมประสิทธ์ จะได้รวมร่างเป็น $\sin(2x+\theta)$ ซึ่งในที่นี้ $\theta$ ก็คือ arcsin เละๆที่เห็นข้างบน จากนั้นก็แก้สมการ รวมคำตอบแล้วจะดัดกันเหลือแค่พวก $\pi$ กับ arcsin _._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._ คือการยุบ $A\cos t+B\sin t$ ให้เหลือแค่ $\sin( t+\theta)$ สำหรับบาง $\theta$ ทำได้โดยการหารตลอดด้วย $\sqrt{A^2+B^2}$ ได้เป็น $$\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos t +\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin t$$ ซึ่งเราสามารถหามุม $\theta$ ที่ทำให้ $\sin\theta=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ และ $\cos\theta=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$ ได้เสมอ และยุบรวมพจน์ข้างต้นเป็น $$\sin\theta\cos t + \cos\theta\sin t = \sin( t+\theta)$$ วิธีการหานิยามของ $\theta$ นั้น มองง่ายๆว่าเป็น arcsin หรือ arccos ที่ได้จากความสัมพันธ์ข้างต้น แต่ต้องสังเกตความเป็นบวกลบของ $A,B$ ก่อน เพื่อให้กำหนดถูกว่ามุม $\theta$ ต้องอยู่ในช่วงไหนของ $(-\pi,\pi]$ (หรือ $[0,2\pi)$ แล้วแต่สะดวก) จากนั้นจึงเลือกหน้าตาของ $\theta$ จาก arcsin หรือ arccos โดยคำนึงว่าเรนจ์ของ arcsin คือ $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ และเรนจ์ของ arccos คือ $[0,\pi]$ ตัวอย่าง เลือกช่วงคำตอบเป็นช่วง $\theta\in (-\pi,\pi]$ ถ้าหากว่า $A<0$ และ $B<0$ นั่นคือ $\sin\theta<0$ และ $\cos\theta<0$ ได้ว่า $\theta$ ต้องอยู่ในควอดรันท์ที่สาม $-\pi<\theta<-\frac{\pi}{2}$ ซึ่งเราจะบอกว่า $\theta=\arcsin\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)\quad$ หรือ $\quad\theta=\arccos\left(\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)$ เฉยๆไม่ได้ เพราะเรนจ์ของสองฟังก์ชันนี้ไปไม่ถึงควอดแรนท์ที่สาม คำตอบจึงต้องเป็น $\theta=-\arcsin\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)-\pi\quad$ หรือ $\quad\theta=-\arccos\left(\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)$ เริ่มจากแปลงทุกอย่างให้อยู่ในรูป $\sin 2x ,\cos 2x $ โดยใช้ความสัมพันธ์มุมสองเท่า สุดท้ายจะได้สมการหน้าตาประมาณนี้ครับ $$\left(\frac{7+\sqrt{3}}{2}\right) \cos 2x + \left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)\sin 2x = \frac{7-\sqrt{3}}{2}$$ ให้ $A=\frac{7+\sqrt{3}}{2}$ และ $B=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ แล้วทำการ normalize สมการโดยการหารตลอดด้วย $\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{14+3\sqrt{3}}=\frac{1+3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ ได้เป็น $$\left(\frac{1+10\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)\cos 2x +\left(\frac{5-2\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)\sin 2x = \frac{-8+11\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}$$ ในที่นี้ สังเกตว่า $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ เพราะว่าทั้ง $\sin \theta >0$ และ $\cos \theta >0$ เลยนิยามตรงๆได้เลยว่า $\theta=\arcsin\left(\frac{1+10\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)$ และยุบรวมเป็น $$\sin(2x+\theta)=\frac{-8+11\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}$$ สังเกตว่าฝั่งขวาของสมการเป็นบวก กำหนดให้ $\alpha=\arcsin\left(\frac{-8+11\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)$ และได้ว่า $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ เช่นกัน สมการเดิมจึงกลายเป็น $$\sin(2x+\theta)=\sin\alpha$$ นอกจากนี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\theta>\alpha$ โดยการแสดงว่า $\frac{1+10\sqrt{3}}{13\sqrt{2}} > \frac{-8+11\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}$ และใช้ความเป็นฟังก์ชันเพิ่มของ arcsin แปะลงไป ก็จะได้ $\theta>\alpha$ ตามต้องการ จากเงื่อนไขที่ $0<x<2\pi$ ได้ว่า $\theta<2x+\theta<4\pi+\theta$ ร่วมกับข้อมูลว่า $0<\alpha<\theta<\frac{\pi}{2}$ ทำให้ได้เพียง 4 คำตอบคือ $$2x+\theta = \alpha+2\pi, \alpha+4\pi, \pi-\alpha, 3\pi-\alpha$$ รวมทุกคำตอบ(สมการ)ออกมาเป็น $$2\sum x_i + 4\theta = 10\pi$$ จัดรูปหา $\sum x_i$ ได้ว่า $$\sum x_i = 5\pi-2\theta=5\pi-2\arcsin\left(\frac{1+10\sqrt{3}}{13\sqrt{2}}\right)$$ ตามต้องการ
|
|
#7
10 ธันวาคม 2020, 21:18
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
เนื่อจากโจทย์ต้องการให้คำตอบเป็นจำนวนเต็ม เราก็ลองทดตรงๆเลยได้ครับ $f(-2)=\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^8}>\frac{1}{2^4}$ $f(-3)=\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{2^{12}}<\frac{1}{2^4}$ แสดงว่าคำตอบที่ได้ต้องอยู่ระหว่าง -3 และ -2 จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม ถ้าอยากแก้จริงๆ ก็เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ $A=2^x$ สมการดังกล่าวก็จะกลายเป็น $A^2+A^3+A^4=\frac{1}{16}$ ซึ่งดูทรงแล้วไม่น่าจะแก้มือได้ง่ายๆ แถมยังต้องมาถอด log อีกรอบเพื่อหาค่า x จึงไม่แนะนำให้ทำครับ  _._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._ ส่วนสมการที่สอง ใช้สมบัติพื้นฐานของ log ได้ว่า $\log_{1024} x^{k}=k \log_{1024}x$ แล้วดึงตัวประกอบร่วม $\log_{1024} x$ ออกจากทุกพจน์ ได้ว่า $$(1+2+3+\cdots+2020)\log_{1024}x = 2021$$ ใช้สูตรผลรวม $1+2+\cdots+2020=\frac{2020 \cdot 2021}{2}$ แล้วหาร 2021 ออกจากทั้งสองฝั่งของสมการ จัดรูปแล้วสุดท้ายจะได้ $x=1024^{\frac{1}{1010}}$ นั่นคือ $b=1024$ และ $c=1010$
|
  |
| เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|
