Integrate sqrt(x^2+a^2) dx

[James007]

$$\int \sqrt{x^2+a^2}\,dx$$
ได้เท่าไหร่ครับ

ใช้ Wolfram|Alpha แล้ว ได้คำตอบเป็น
$$\frac{1}{2}(x \sqrt{a^2+x^2}+a^2 \log(\sqrt{a^2+x^2}+x))+C$$

แต่พอ Show Steps แล้ว ขั้นตอนก่อนหน้านั้นคือ
$$\frac{1}{2}(x \sqrt{a^2+x^2}+a^2 \log(\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}+\frac{x}{a}))+C$$

ครับ
ผมเข้าใจอะไรผิดหรือเปล่าครับ หรือมันเป็นข้อผิดพลาดของ Wolfram|Alpha
(Mathematica ให้คำตอบเหมือนกัน )

[nooonuii]

ไม่ผิดครับ ขั้นตอนสุดท้ายได้กลืนค่า $-\dfrac{1}{2}a^2\log a$ ไว้ในค่า $C$ เรียบร้อยแล้ว

[James007]

อ๋อ ครับ
ขอบคุณมากครับ

[kongp]

เป้นผมสมัยก่อนจะพยายามเปลี่ยน dx ให้เป็น d(x^2+a^2) แต่ดูดีๆ จะพบว่าเทอมหลังไม่เป็นลิเนียร์ ทำให้ต้องกลับไปดูนิยามเครื่องหมายอินทริกัลที่เกี่ยวกับ Limit ใหม่ พบว่าย่านของการอินทริเกรตต้องเปลี่ยน เหมือน่เปลี่ยนปริภูมิจาก x ไปเป็น x^2 + a^2 คือจากอ้างอิงเส้นตรงแนวราบไปเป็นส่วนโค้ง ..... ยากกว่าเก่าซะอีกต้องตีตารางหากอยากมั่นใจ ไอ้พื้นฐานม.6 มันก็ไม่สอนใช้ Excell ช่วย ตอนผมเรียนไม่มีตรงนี้

ส่วนเครื่องหมายกรณต์ในประโยคคำถามเปลี่ยนไปเป็น log ในคำตอบได้ยังไง ใช่มั้ยที่คุณสงสัย เพราะถ้าคิดแบบใช้รูป Right Triangle อ้างแทนคำตอบน่าจะอยู่ในรูป Sinusoid กรณีลิเนียร์นะ Wolfram เค้าคงใช้สมการของออยเลอร์ e^ix = 1 ช่วยแก้สมการตอนเริ่ม เดานะเปลี่ยน x เป็น x^2+a^2


อยากแค่แนะนำ ส่วนวิธีแก้ที่แปลกกว่านี้อาจจะเป็นใช้ Special Function แก้สมการ ไม่ก็แปรเทอมในโจทย์ด้วยหลักการอื่น มุมมองอื่นก็เป็นไปได้ ...