ช่วยหน่อยครับ

[LightLucifer]

จงหาคู่ลัมดับ (x,y) ที่เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ทำให้
$x^2-x=145y^2-y$

[Scylla_Shadow]

$x^2-y^2-x+y=144y^2$

$(x-y)(x+y-1)=144y^2$

แยกcase จะได้ case ที่มีคำตอบคือ case ที่

x-y=144 , $x+y-1 = y^2$

ได้ค่า (x,y)=(157,13)

[LightLucifer]

แยก Case ได้อะไรบ้างอ่ะครับ

[banker]

มาเพิ่มให้อีก 2

(x,y)=(337,193), (757,613)

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มาเพิ่มให้อีก 2

(x,y)=(337,193), (757,613)

อีก 2 นี่เป็นคำตอบที่ผิดใช่มั้ยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

อีก 2 นี่เป็นคำตอบที่ผิดใช่มั้ยครับ

ยังไม่ได้ตรวจสอบคำตอบ

ถ้าซื้อแป๋ว่า ผิด ก็คงจะผิดมั๊ง

[[SIL]]

แยกเคสนี่ได้หลายเคสเลยครับ จับแก้ไม่ไหว

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

จงหาคู่ลัมดับ (x,y) ที่เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ทำให้
$x^2-x=145y^2-y$

$x^2-x-(145y^2-y)=0$
ดังนั้น $1+4(145y^2-y)=h^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $h$
สังเกตว่า $h$ ต้องเป็นคี่ ดังนั้นให้ $h=2k+1$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $k$
$4y(145y-1)=(h+1)(h-1)$
$4y(145y-1)=4k(k+1)$
$y(145y-1)=k(k+1)$

เคสแรก $y|k$ ให้ $k=ay$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $a$
ได้ $145y-1=a(ay+1)$
$\displaystyle y=\frac{a+1}{145-a^2}$
ถ้า $a>12$ จะได้ $y<0$
ดังนั้น $y\leq 12$
จาก $y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ได้ว่า $145-a^2\leq a+1$ ซึ่งแก้อสมการ ได้ว่า $a=12$ เท่านั้น ซึ่งจะได้ว่า $y=13$ และ $x=157$ นั่นคือ $(x,y)=(157,13)$

เคสที่สอง $y|k+1$ ให้ $k=ay-1$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $a$
ได้ $145y-1=a(ay-1)$
$\displaystyle y=\frac{a-1}{a^2-145}$
ถ้า $a<13$ จะได้ $y<0$
ดังนั้น $a\geq 13$
จาก $y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ได้ว่า $a^2-145\leq a-1$ ซึ่งแก้อสมการ ได้ว่า ไม่มี $a$ ที่สอดคล้อง

ดังนั้นคำตอบทั้งหมด ก็คือ $(x,y)=(157,13)$

[nooonuii]

ผมทำคล้ายๆน้อง beginner01 ครับ

สังเกตว่า $x\neq y$

เนื่องจาก $x,y$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ $x(x-1)=y(145y-1)$

เราจะได้ว่า $y|x-1$

สมมติ $x=1+ay$ แทนค่าลงไปในสมการได้

$(145-a^2)y=a+1$

เนื่องจาก $a,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก เราจะได้

$145-a^2 > 0$ และ $145-a^2 < a+1$

ดังนั้น $a\leq 12$ และ $a^2+a>144$

ทั้งสองเงื่อนไขบังคับให้ $a=12$

จึงได้ $(x,y)=(157,13)$

[LightLucifer]

ขอบคุณทุกคนมากเลยนะครับ เข้าใจเลย