A Problem of Inequality

[Char Aznable]

\[ a,b,c > 0 \]
Prove or disprove that \[ \frac{4a^{ 2 }(3a+b)}{(b+c)}+\frac{4b^{ 2 }(3b+c)}{(c+a)}+\frac{4c^{ 2 }(3c+a)}{(a+b)} \geq 11(a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 })-3(ab+bc+ca) \]

[Char Aznable]

เงียบมา 2 ข้อแล้วแฮะ ไม่ยากนะครับ

[dektep]

difficult

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
\[ a,b,c > 0 \]
Prove or disprove that \[ \frac{4a^{ 2 }(3a+b)}{(b+c)}+\frac{4b^{ 2 }(3b+c)}{(c+a)}+\frac{4c^{ 2 }(3c+a)}{(a+b)} \geq 11(a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 })-3(ab+bc+ca) \]

ไชโย !! ทำได้แล้วครับ

$\displaystyle{LHS = \frac{(6a^2+2ab)^2}{(b+c)(3a+b)}+\frac{(6b^2+2bc)^2}{(c+a)(3b+c)}+\frac{(6c^2+2ca)^2}{(a+b)(3c+a)}}$

$\displaystyle{\geq \frac{[6(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)]^2}{a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)}}$

$\geq 11(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ca)$

อสมการสุดท้ายพิสูจน์ดังนี้

ให้ $x=a^2+b^2+c^2,y=ab+bc+ca$ จะได้อสมการสมมูลกับ
$(6x+2y)^2\geq (x+7y)(11x-3y) \Leftrightarrow 25(x-y)^2\geq 0$

[dektep]

คุณ nooonuii เก่งมากๆครับ ผมคิดข้อนี้ตั้งนานยังไม่ได้เลย

[nooonuii]

ข้อนี้ผมคิดมาหลายรอบแล้วครับแต่ไม่ออก ช่วงที่บ้าคิดอสมการของ Hojoo Lee อย่างหนักเลยรื้อกลับมาคิดอีกรอบครับ ยังมีอีกข้อของน้อง Char Aznable ที่ยังคิดไม่ออกครับ เดี๋ยวหัวโล่งๆจะรื้อมาคิดต่อ

[Char Aznable]

วิธีสวยมากเลยนะครับ

[nooonuii]

แล้วเจ้าของโจทย์คิดยังไงครับ

[Char Aznable]

เดี๋ยวเอาไว้ผมมีเวลาจะมาโพสวิธีทำนะครับ(ต้องหาก่อนเนื่องจากไม่ทราบว่าเก็บไว้ไหนแล้ว)(นานมาก) แต่อสมการตัวสุดท้ายคล้ายๆกันครับ

[[Tong]_1412]

งง เลยครับเพ่น้อง ทำไมเป็นงี้อ่าคับ ดูแล้วงง?? T_T

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [Tong]_1412

งง เลยครับเพ่น้อง ทำไมเป็นงี้อ่าคับ ดูแล้วงง?? T_T

เผอิญเขียนลัดไปหน่อยครับพี่น้อง แนวคิดคือจะใช้อสมการกึ่งสำเร็จรูปข้อ 4 ในกระทู้รวมเทคนิคการคิดโจทย์อสมการครับ(อสมการนี้มีประโยชน์มากต้องใช้ให้คล่องครับ) แต่เรายังทำไม่ได้ก็เลยจัดรูปให้มันทำได้โดยการคูณอะไรบางอย่างเข้าไปแล้วหารกลับเพื่อทำให้ข้างบนมันเป็นกำลังสอง ลองสังเกตดูครับว่ามีเทอมไหนโผล่มาบ้าง

[[Tong]_1412]

อ่อ ขอบคุณมากคร้าบ เพ่น้องคร้าบ