recurrence relation

[ความฝัน]

$ให้ P_{n+2}=2P_{n+1}+P_{n} โดยที่P_{0}=1, P_{1}=1$

$ถ้า \frac{1}{2P_{2k-1}}-\frac{1}{2P_{2k+1}}<\frac{1}{P_{2k}}$

$แล้ว\sum_{k = n}^{\infty}(\frac{1}{2P_{2k-1}}-\frac{1}{2P_{2k+1}}) <\sum_{k = n}^{\infty}(\frac{1}{P_{2k}})$

อยากจะถามว่าเราใส่เครื่องหมาย sum ถึงอนันต์ไปได้อย่างไร มีอะไรยืนยันว่าใส่ได้ครับ

หรือต้องพิสูจน์อย่างไรครับ

[nooonuii]

ตอนแรก อสมการบน partial sum เป็นจริงครับ

หลังจากนั้นก็ใช้สมบัติของลำดับที่ว่า ถ้า $a_n\leq b_n$ แล้ว

$\lim a_n\leq\lim b_n$

แต่ทั้งสองอนุกรมควรจะลู่เข้าก่อนจะได้ไม่ต้องคิดอะไรจุกจิกอีก

[ความฝัน]

ขอบคุณมากๆครับ