|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยหน่อยครับ ผมจะร้องไห้อยู่เเล้ว APMO 2002 กับ 2007
APMO 2002
กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่มีสมบัติว่า $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$ จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geqslant \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$ ข้อนี้ทำเมื่อคืน 5 ชม.ติดๆไม่ออกสักทีครับ ผมเห็นเป็นโจทย์เเบบฝึกหัดใน Trigonometry Substitution ที่ Math Reflection พอลองทำดูเเล้ว ผมใช้เงื่อนไขที่ว่า $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ เเล้วเเทนค่า $Cyclic(x=\frac{1}{ab}=tanAtanB)$ จะได้อสมการ $\Sigma secC\sqrt{tanAtanB}\geqslant tanAtanBtanC+\Sigma \sqrt{tanAtanB}$ เมื่อ $A,B,C$ ถูกนิยามโดย $Cyclic(A=\frac{\pi -\alpha }{2})$ ถึงตรงนี้ก็ทำไม่ได้เเล้วครับผม เเล้วก็อีกข้อนึง APMO 2007 กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่มีสมบัติว่า $$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$$ จงพิสูจน์ว่า $$\Sigma \frac{x^2+yz}{2x^2(y+z)}\geqslant 1$$ ข้อนี้หลายอาทิตย์ยังไม่มีไอเดียจะ Crack เลยครับ Bound ก็ไม่ได้ อสมการก็ Strong เเบบสุดๆเลย ผม Mark ว่า http://www.imomath.com/othercomp/Ap/ApMO07.pdf ในนี้ตรงโจทย์จะไม่้ติดรูท ผมขอความกรุณาจากทุกๆท่านด้วยนะครับ 09 กรกฎาคม 2009 21:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Keehlzver เหตุผล: เพิ่มเเหล่งอ้างอิง APMO 2007 |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
After squaring on both sides and eliminating similar terms, we get the inequality $\sqrt{(x+yz)(y+zx)}+\sqrt{(y+zx)(z+xy)}+\sqrt{(z+xy)(x+yz)}\geq \sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$ Now apply Cauchy-Schwarz inequality 3 times. $\sqrt{xy}+\sqrt{xyz^2}\leq ......?$ $\sqrt{yz}+\sqrt{x^2yz}\leq ......?$ $\sqrt{zx}+\sqrt{xy^2z}\leq ......?$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
||||
|
||||
เเบบนี้เหรอครับ $\Sigma \sqrt{xy}+\Sigma \sqrt{xyz^2}\leqslant \Sigma \sqrt{(z+xy)(1+xyz)}$ พอถึงตรงนี้เเล้วทำไงต่อเหรอครับ
|
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\sqrt{xy}+\sqrt{xyz^2}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}+\sqrt{yz}\cdot \sqrt{zx}$ อีกสองอสมการก็ทำแบบเดียวกัน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
เคลียร์เเล้วครับ $\Sigma \sqrt{xy}+\Sigma \sqrt{xyz^2}\leqslant \Sigma \sqrt{(x+yz)(y+zx)}$ ขอบคุณคุณ Nooonuii มากครับ
อีกเรื่องนึงคือโจทย์ $\Sigma \frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\geqslant 1$ กับ $\Sigma \frac{x^2+yz}{2x^2(y+z)}\geqslant 1$ อันไหนเป็น APMO 2007 ข้อที่ใช้สอบกันจริงๆอ่ะครับ เพราะเว็บ Imomath กับ Mathlink มันเป็นคนละตัวกัน คุณ Nooonuii ช่วย Hint โจทย์ตัวที่ไม่ติดรูทให้หน่อยนะครับ |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ส่วนโจทย์แบบที่สองน่าจะเป็นแบบนี้นะครับ $\dfrac{x^2+yz}{x^2(y+z)}+\dfrac{y^2+zx}{y^2(z+x)}+\dfrac{z^2+xy}{z^2(x+y)}\geq 27$ ผมยังไม่ได้ลองพิสูจน์ ว่าจริงหรือเปล่า
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#9
|
||||
|
||||
ของ APMO 2002
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง แล้วโคชี ดีมั้ยครับ
__________________
... mathematical proofs, like diamonds, are hard as well as clear,and will be touched with nothing but strict reasoning. |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Inequality from APMO 2002 | Mathephobia | อสมการ | 2 | 26 พฤษภาคม 2009 22:42 |
APMO 2008 | dektep | ข้อสอบโอลิมปิก | 17 | 22 มิถุนายน 2008 22:20 |
f(x)+2f(2002/x)=3x | goodnews | พีชคณิต | 1 | 04 กันยายน 2007 21:43 |
APMO 2007 | nooonuii | อสมการ | 8 | 30 เมษายน 2007 20:20 |
APMO 2001 ข้อ4 | <ลองทำดูสิ> | พีชคณิต | 8 | 25 เมษายน 2001 18:32 |
|
|