True - False Marathon

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
111.ในลำดับ $1,4,9,...$ มีจำนวนพาลินโดรมอยู่เป็นอนันต์

จริง $(10^n+1)^2=10^{2n}+2\cdot10^n+1$ เป็น palindrome

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
112.มีจำนวนเฉพาะที่เป็นพาลินโดรมอยู่อย่างจำกัด

น่าจะเท็จนะ ใครตอบข้อนี้ได้ก็ดังล่ะครับ

[Timestopper_STG]

ต้องขอโทษด้วยนะครับที่บางทีผมตั้งโจทย์มั่วๆโดยไม่รู้ว่าทำได้หรือไม่
ที่ผมทำอย่างนั้นเพราะรู้สึกว่าถ้าผมตั้งโจทย์ที่ตัวเองทำได้คนอื่นในนี้ทำได้ง่ายแน่ๆ
เพราะขนาดส่วนใหญ่ตั้งมั่วๆยังทำได้เลย ละก็ได้เห็นวิธีทำแปลกๆด้วยครับ
ว่าแล้วก็ตั้งโจทย์(มั่ว...หรือเปล่า)ต่อครับ
114.มีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป$10^n+1$อยู่เพียง2ตัวโดยที่ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
ต้องขอโทษด้วยนะครับที่บางทีผมตั้งโจทย์มั่วๆโดยไม่รู้ว่าทำได้หรือไม่
114.มีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป$10^n+1$อยู่เพียง2ตัวโดยที่ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ

ตั้งโจทย์เองแบบมั่วๆนี่แหละครับคือจุดประสงค์ของกระทู้นี้ แต่จะได้คำตอบออกมารึเปล่าเป็นหน้าที่ของทุกคนที่เข้ามาเล่นกระทู้นี้ช่วยกันคิดครับ มีโจทย์อยู่หลายข้อในกระทู้นี้ที่ทำให้ผมได้เรียนรู้เทคนิคใหม่ๆในการคิดครับ ที่ชอบที่สุดคงจะเป็นข้อ 104 ของคุณ nongtum ซึ่งทำให้ผมตระหนักว่าวิชา Topology ที่ร่ำเรียนมาไม่ได้เป็นแค่ทฤษฎีเชิงนามธรรมเพียงอย่างเดียว

114. เท็จครับ ผมได้มาสามตัวคือ 2,11,101 ส่วนที่เหลือคงต้องรอให้ผู้เชี่ยวชาญทางด้านทฤษฎีจำนวนมาไขความลับแล้วล่ะ

[nongtum]

ขอบคุณคุณ nooonuii ครับที่ทำโจทย์ข้อ 104. ตอนออกคำถามผมก็ได้ไอเดียจากที่ถามๆกันในกระทู้นี่แหละครับ วิธีทำน่าสนใจดีครับ แต่ผมไม่แน่ใจว่าคุณ nooonuii พิมพ์การกำหนดแกนในวิธีทำในข้อนั้นผิดไปหรือเปล่า สงสัยมานานแต่ไม่ได้ถามครับ

ข้อ 114. หลังจากทดลองรันเลขออกมา เมื่อกันกรณีที่เลขชี้กำลังหารด้วยสามลงตัว ตอนแรกผมนึกว่าจะ cover มันได้ง่ายๆด้วย covering set ธรรมดาๆ แต่มันน่้าจะเป็นหมูหินครับ เพราะมีบางตัวที่มันคลุมไม่อยู่ซะแบบนั้น แต่นอกจากสามตัวที่คุณ nooonuii เขียน ผมก็ยังไม่เจอตัวเฉพาะตัวต่อไปเหมือนกันครับ

ข้อ 115. (เคยอ่านในนิตยสารมา หวังว่าจะจำถูก)
ปัญหาโรงแรมฮิลเบิร์ต มีวิธีแก้โดยที่แขกที่อยู่ในห้องเดิมไม่ต้องย้ายห้องเลย และแขกที่มาใหม่ก็ได้ห้องเสมอ
หมายเหตุ: ปัญหานี้ดังนะครับ หากสงสัยว่าถามถึงอะไร กูเกิลช่วยท่านได้
อ้อ ข้อ 108 กล่าวถึงรูปทรงอันประหลาดอันหนึ่ง ที่มีผู้สร้างแบบจำลองออกมาได้จริงๆครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
ต้องขอโทษด้วยนะครับที่บางทีผมตั้งโจทย์มั่วๆโดยไม่รู้ว่าทำได้หรือไม่
ที่ผมทำอย่างนั้นเพราะรู้สึกว่าถ้าผมตั้งโจทย์ที่ตัวเองทำได้คนอื่นในนี้ทำได้ง่ายแน่ๆ
เพราะขนาดส่วนใหญ่ตั้งมั่วๆยังทำได้เลย ละก็ได้เห็นวิธีทำแปลกๆด้วยครับ

เปล่าครับเปล่า ผมไม่ได้ว่าอะไรทั้งนั้น จะว่าไปแล้วผมไม่ได้คิดว่าโจทย์ข้อ 111-112 ของคุณ Timestopper_STG เป็นโจทย์มั่วๆเลยนะ เพราะทั้งสองคำถามล้วนเป็น classic problems ครับ

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
ว่าแล้วก็ตั้งโจทย์(มั่ว...หรือเปล่า)ต่อครับ
114.มีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป$10^n+1$อยู่เพียง2ตัวโดยที่ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
114. เท็จครับ ผมได้มาสามตัวคือ 2,11,101 ส่วนที่เหลือคงต้องรอให้ผู้เชี่ยวชาญทางด้านทฤษฎีจำนวนมาไขความลับแล้วล่ะ

555 กับดักอันนี้ของคุณ Timestopper_STG ใช้ไม่ได้ผลกับคุณ nooonuii ครับ

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ข้อ 114. หลังจากทดลองรันเลขออกมา เมื่อกันกรณีที่เลขชี้กำลังหารด้วยสามลงตัว ตอนแรกผมนึกว่าจะ cover มันได้ง่ายๆด้วย covering set ธรรมดาๆ แต่มันน่้าจะเป็นหมูหินครับ เพราะมีบางตัวที่มันคลุมไม่อยู่ซะแบบนั้น แต่นอกจากสามตัวที่คุณ nooonuii เขียน ผมก็ยังไม่เจอตัวเฉพาะตัวต่อไปเหมือนกันครับ

ไม่ยากครับที่จะพิสูจน์ว่า ถ้า $10^n+1$ เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว $n$ จะต้องอยู่ในรูป $2^m$ เรื่องนี้ก็คล้ายๆกับเรื่อง Fermat prime แหละครับ เราเรียกจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป $b^{2^m}+1$ เมื่อ $b>2$ เป็นจำนวนเต็มคู่ว่า generalized Fermat prime เราเชื่อกันว่าสำหรับแต่ละ $b$ จำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป $b^{2^m}+1$ มีอยู่จำกัด สำหรับกรณี $b=10$ ก็มีที่รู้กันอยู่แค่ 3 ตัวนี้แหละครับ

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ตั้งโจทย์เองแบบมั่วๆนี่แหละครับคือจุดประสงค์ของกระทู้นี้ แต่จะได้คำตอบออกมารึเปล่าเป็นหน้าที่ของทุกคนที่เข้ามาเล่นกระทู้นี้ช่วยกันคิดครับ มีโจทย์อยู่หลายข้อในกระทู้นี้ที่ทำให้ผมได้เรียนรู้เทคนิคใหม่ๆในการคิดครับ ที่ชอบที่สุดคงจะเป็นข้อ 104 ของคุณ nongtum ซึ่งทำให้ผมตระหนักว่าวิชา Topology ที่ร่ำเรียนมาไม่ได้เป็นแค่ทฤษฎีเชิงนามธรรมเพียงอย่างเดียว

คุณ nooonuii เขียนต่อเนื่องกันซะดูเผินๆแล้วเหมือนบอกว่า โจทย์ข้อ 104. ถูกตั้งขึ้นมาอย่างมั่วๆเลย ถ้าคนตั้งโจทย์เขาเข้าใจผิดไปอย่างนั้น คงเสียใจเป็นที่สุดเลยล่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ขอบคุณคุณ nooonuii ครับที่ทำโจทย์ข้อ 104. ตอนออกคำถามผมก็ได้ไอเดียจากที่ถามๆกันในกระทู้นี่แหละครับ วิธีทำน่าสนใจดีครับ แต่ผมไม่แน่ใจว่าคุณ nooonuii พิมพ์การกำหนดแกนในวิธีทำในข้อนั้นผิดไปหรือเปล่า สงสัยมานานแต่ไม่ได้ถามครับ

คุณ nongtum หมายถึงแกนพิกัดที่ผมสร้างน่ะเหรอครับ ผมลองเช็คดูแล้วก็น่าจะถูกนะ แต่ที่ผมคิดว่าอาจจะยังกำกวมอยู่ก็คือ การนิยาม เชือกเส้นสีแดงครับ แต่การนิยามแบบนั้นก็ไม่มีปัญหาอะไรครับ เพราะเราสามารถมองให้จุดเริ่มต้นอยู่บนด้าน AB ได้แล้วก็ค่อยให้กราฟมันวิ่งไปด้าน CD ตรงนี้ผมอธิบายไม่ค่อยดีนักครับ จริงๆข้อนี้มีรายละเอียดปลีกย่อยที่ต้องอธิบายเพิ่มเติมอีกเยอะทีเดียว แต่ผมตัดตอนเอาเฉพาะส่วนสำคัญในการพิสูจน์มาครับ เพราะถ้าอธิบายกันละเอียดคงต้องใช้ Homotopy ซึ่งยุ่งวุ่นวายน่าดู

ผมไม่ได้บอกว่าคุณ nongtum ตั้งโจทย์มั่วแบบที่คุณ Warut ตีความนะครับ เดี๋ยวคุณ nongtum ไปแอบน้อยใจล่ะยุ่งเลย เป็นโจทย์ที่น่าสนใจมากทีเดียว โจทย์ดูเหมือนจะง่ายเพราะเราสามารถใช้สามัญสำนึกสัมผัสได้ แต่การพิสูจน์แบบละเอียดนั้นทำได้ยากครับ ถ้าไม่ใช้ Topology ผมก็ยังไม่เห็นทางว่าเราจะพิสูจน์โจทย์ข้อนี้ยังไง โจทย์ข้อนี้คล้ายๆกับ Jordan Curve Theorem ครับ ตัวทฤษฎีใครเห็นก็ร้องอ๋อว่ามันน่าจะจริงแต่พอลงมือพิสูจน์กลับไม่ง่ายอย่างที่คิด

ป.ล. Jordan Curve Theorem (แบบเด็กๆ) มีใจความว่า
ถ้าเรานำหนังยางมาวางไว้บนโต๊ะเรียบ เราจะได้ว่าหนังยางจะแบ่งโต๊ะออกเป็นสามส่วน คือ ส่วนที่อยู่ด้านใน ส่วนที่โดนหนังยางทับไว้ และ ส่วนที่อยู่ด้านนอกหนังยาง

ใครสนใจอยากพิสูจน์ก็ลองเขียนมาได้ครับ ผิดถูกอย่างไรไม่ว่ากัน อยากรู้วิธีคิดมากกว่าครับ

[warut]

116. สมการ Diophantine: $x^5+y^7=z^9$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ อยู่จำกัด

[Mastermander]

117.$$ \int_0^1 \sqrt{-\ln x}\,dx =\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx $$

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
117.$$ \int_0^1 \sqrt{-\ln x}\,dx =\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx $$

ขอลองตอบข้อนี้แบบบ้านๆละกันครับ ส่วนใครอยากโชว์วิธีทำเชิญได้ครับ

สองฟังก์ชันหลังเครื่องหมายอินทิกรัลเป็นอินเวอรส์ของกันและกัน(มี x=y เป็นแกนสมมาตร) หมายถึง เมื่อสลับตัวแปรและเปลี่ยนของขอบเขตการอินทิเกรตก็จะได้อินทิกรัลอีกตัว ข้อนี้ก็เลยจริงครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
107. มีจำนวนเฉพาะอนันต์ตัวในลำดับ 3,7,11,...

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
107. TRUE

It's sufficient to show that there're infinitely many primes of the form $ 4k+3 $

Suppose for the contrary that there're only finite number of primes in that form,say, $ p_1,p_2,\cdots p_n $

Consider $ A= 4p_1p_2\cdots p_n -1 $

It's obvious that A is odd number. So prime divisor of A must be of the form $ 4m+1 $ or $4m+3$.

But all prime divisors of A can't be of the form $ 4m+1 $, since $ (4l+1)(4n+1)=4j+1 \,\, \exists j\in N. $ When we multiply this form of divisors finitely many times, it's impossible to be $A$.

So there exists at least one prime divisor of the form $ 4m+3 $ ,which isn't equal to $ p_1,p_2,\cdots p_n $ And it gives the contradiction.

วิธีพิสูจน์ของคุณ passer-by ถือเป็นวิธีมาตรฐาน ที่ทั้งสั้นและง่ายที่สุดแล้วล่ะครับ แต่ผมอยากให้ลองดูวิธีแบบแปลกๆต่อไปนี้ ที่ไม่ค่อยได้พบเห็นกันบ้างนะครับ

สมมติให้มีจำนวนเฉพาะในรูป $4k+3$ อยู่จำกัด ดังนั้นจะต้องมีตัวที่ใหญ่ที่สุด สมมติให้ชื่อ $p$

พิจารณาจำนวน $2^p-1$ จะเห็นว่ามันอยู่ในรูป $4k+3$ ดังนั้นจะต้องมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อยตัวนึง ที่อยู่ในรูป $4k+3$ สมมติให้ชื่อ $q$

จะเห็นว่า $2^p\equiv1\pmod q$ ดังนั้น $p$ จึงเป็น order ของ $2$ modulo $q$ แต่จาก Fermat's Little Theorem เรารู้ว่า $2^{q-1}\equiv1\pmod q$ ดังนั้น $p\mid q-1$ นั่นคือ $q>p$ จึงเกิดข้อขัดแย้งกับที่เราสมมติไว้ว่า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะในรูป $4k+3$ ที่ใหญ่ที่สุด

เทคนิคนี้สามารถขยายไปใช้พิสูจน์ว่า มีจำนวนเฉพาะในรูป $8k+7$ อยู่เป็นอนันต์ ได้ด้วยครับ

[nooonuii]

เข้ามา update กระทู้ครับ ยังมีคำถามตกค้างอยู่หลายข้อ

71. $\displaystyle{ f(x) = \cases{e^{-1/x^2} & , x>0 \cr 0 & , x\leq 0} }$ เป็น smooth function (มีอนุพันธ์ทุกอันดับ)

79. หาก $F:[0,\infty)\mapsto[0,\infty)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่สอดคล้องกับ
$$\displaystyle{F(x)=F(ax)+F(bx),\quad\forall x\in(0,\infty)}$$
สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b$ ที่ $a+b<1$ จริงหรือไม่ที่
$$\displaystyle{F(x)=0,\quad\forall x\in(0,\infty)}$$
Hint: โปรดชำเลืองดูกระทู้มาราธอนเพื่อนบ้าน

83. Let $I\subseteq R$ be an interval and let $f:I\to R$ be strictly monotone and continuous on $I$. Then $f$ is an injective fuction on $I$ : Moreover, the inverse of $f$ is strictly monotone and continuous on interval $f(I)$

86. คำตอบของสมการ $x^2+ax+b=0; \, a,b \in Z$ ที่มี discriminant ไม่เป็นลบ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนต่อเนื่องเชิงเดียวได้เสมอ (ดูข้อ 80 ประกอบ)

87. ให้ $f : (a,b)\to R$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จะได้ว่า $f$ เป็น strictly monotone function ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

90. มีจำนวนจริง $a$ เพียงสามค่าที่ทำให้สมการ $(x+1)^2=|x+a|$ มีคำตอบที่แตกต่างกันสามคำตอบ

100. ในการแข่งฟุตบอลครั้งหนึ่ง จากจำนวนผู้เข้าชมในสนามทั้งหมด มีเด็กอายุไม่ต่ำกว่าสามขวบแต่ไม่เกินสิบขวบอยู่ $5000$ คน โดยปราศจากข้อมูลทางสถิติอื่นๆ เราจะแน่ใจได้หรือไม่ว่าในบรรดาเด็กเหล่านี้ จะมีเด็กเพศเดียวกันอย่างน้อยสองคนที่เกิดในวันและปีเดียวกัน (กล่าวคือ อายุเท่ากัน)

102. $\displaystyle{ \int_0^1 \ln\ln x\,dx\in\mathbb{R} }$

108. มีรูปทรงสามมิติที่มีปริมาตรเป็นศูนย์ มีด้านเดียว กำหนดทิศไม่ได้ และเมื่อแบ่งครึ่งก็ได้แถบสองแถบที่มีด้านเดียว (Comment : แถบสองแถบที่เกิดจากการแบ่งครึ่งรูปทรงสามมิติดังกล่าวจะไม่แยกจากกัน แต่จะคล้องกันเหมือนห่วงโซ่ ภาษา Topology (Knot Theory) เรียกว่า Link )

115. ปัญหาโรงแรมฮิลเบิร์ต มีวิธีแก้โดยที่แขกที่อยู่ในห้องเดิมไม่ต้องย้ายห้องเลย และแขกที่มาใหม่ก็ได้ห้องเสมอ

116. สมการ Diophantine: $x^5+y^7=z^9$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ อยู่จำกัด

แถมให้อีกสามข้อครับ

118. พื้นที่วงรีที่มีความยาวแกนเอกเท่ากับ $a$ และ ความยาวแกนโทเท่ากับ $b$ คือ $\pi ab$ ตารางหน่วย

119. พื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยกราฟของความสัมพันธ์ $|x|+|y|=1$ คือ $2$ ตารางหน่วย

120. ระหว่างสามเหลี่ยมกับวงกลมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน วงกลมจะมีพื้นที่มากกว่าเสมอ

[warut]

ข้อ 109. น่ะครับ ผมเพิ่งมานึกได้ว่าผมทำไม่ตรงประเด็น อย่างแรกคือผมไม่ได้ตอบว่า จริง หรือ เท็จ ซึ่งถ้าเอาตามตัวโจทย์ก็ต้องตอบว่า เท็จ เพราะ zero matrix เป็น nilpotent matrix แต่ไม่สามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐานได้ แต่ผมดันมองข้าม shot (คิดไปเอง) เพราะเห็นว่าเราคุยส่วนนี้ไปแล้ว เลยเขียนพิสูจน์กรณีที่ไม่ใช่ zero matrix ไปเลย

อยากทราบว่าสำหรับข้อ 109. นี้ จริงๆแล้ว คุณ nooonuii ตั้งใจให้มันเป็นโจทย์แบบ tricky หรือแบบที่ผมตอบครับ

ป.ล. ดีมากเลยครับที่คุณ nooonuii ช่วยเอาโจทย์ที่คั่งค้างมารวมไว้ สะดวกขึ้นเยอะเลย

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
อยากทราบว่าสำหรับข้อ 109. นี้ จริงๆแล้ว คุณ nooonuii ตั้งใจให้มันเป็นโจทย์แบบ tricky หรือแบบที่ผมตอบครับ

ข้อนี้ผมต้องการคำตอบแบบ rigorous ครับ เพราะ คุยกันมารอบนึงแล้วว่ามันไม่จริงสำหรับเมทริกซ์ศูนย์

ป.ล. ที่เอาโจทย์มารวมกันไว้ที่เดียวเพราะเครื่องผมโหลดช้าครับ กว่าจะได้แต่ละหน้าแทบขาดใจ บางทีกด refresh กันสองสามรอบกว่าจะได้ครบทั้งหน้าเวบ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ข้อนี้ผมต้องการคำตอบแบบ rigorous ครับ เพราะ คุยกันมารอบนึงแล้วว่ามันไม่จริงสำหรับเมทริกซ์ศูนย์

โอเคครับ งั้นเดี๋ยวผมจะกลับขึ้นไป edit คำตอบอีกนิดหน่อย

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ป.ล. ที่เอาโจทย์มารวมกันไว้ที่เดียวเพราะเครื่องผมโหลดช้าครับ กว่าจะได้แต่ละหน้าแทบขาดใจ บางทีกด refresh กันสองสามรอบกว่าจะได้ครบทั้งหน้าเวบ

bandwidth ของ connection ที่ส่งข้อมูลจากไทยไปอเมริกาแย่มากๆครับ เว็บไทยมีปัญหาแบบนี้แทบทุกอันเลย

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
118. พื้นที่วงรีที่มีความยาวแกนเอกเท่ากับ $a$ และ ความยาวแกนโทเท่ากับ $b$ คือ $\pi ab$ ตารางหน่วย

เท็จครับ วงกลมรัศมี $1$ หน่วย ก็คือวงรีที่มี $a=b=2$ หน่วย ดังนั้นตามสูตรในโจทย์ เราจะได้พื้นที่คือ $4\pi$ ตารางหน่วย ซึ่งไม่ตรงกับที่เรารู้ว่า พื้นที่ของวงกลมหนึ่งหน่วย คือ $\pi$ ตารางหน่วย

[Mastermander]

121.

If $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ and $a+b+c=0$

Hence $$a^2+b^2+c^2=\frac65$$