True - False Marathon

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
121.
If $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ and $a+b+c=0$
Hence $$a^2+b^2+c^2=\frac65$$

เท็จครับ ถ้าให้ a=1 b=-1 c=0 จะได้ $1^3+(-1)^3+0=1^5+(-1)^5+0=a+b+c=0$ แต่ $1^2+(-1)^2+0=2\ne\frac65$

[Mastermander]

25.

$x^{x^{x^{...}}}$ Converges, when $x\in[e^{-1/e},e^{1/e}]$

False.

converges only if

ข้อมูลจาก
http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)

[Mastermander]

122.

เราไม่สามารถหาค่าของ $\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\dfrac{\cos x}{x} }$ ได้.. เพราะว่า $\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\cos x }$ หาค่าไม่ได้

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
122.

เราไม่สามารถหาค่าของ $\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\dfrac{\cos x}{x} }$ ได้.. เพราะว่า $\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\cos x }$ หาค่าไม่ได้

เท็จ ครับ ลิมิตเป็น 0 เพราะ cosine เป็น bounded function ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:


102. $\displaystyle{ \int_0^1 \ln\ln x\,dx\in\mathbb{R} }$

ในช่วงเปิด (0,1) ค่าของลอการิทึมเป็นลบ ดังนั้น $\ln{\ln{x}}$ ไม่นิยาม ครับ

[Mastermander]

102. $\displaystyle{ \int_0^1 \ln\ln x\,dx\in\mathbb{R} }$

False

Let $x=e^u$

$\displaystyle{ \int_{-\infty}^0 e^u \ln u\,du }$ , and let $u=-t$

integral become $\displaystyle{ \int_0^\infty e^{-t}\ln(-t)\,dt }$

$ \ln (-t) = \ln (e^{i\pi} t) = i\pi +\ln t $

$\displaystyle{ \int_0^\infty e^{-t}\ln(-t)\,dt =\int_0^\infty i\pi e^{-t}\,dt + \int_0^\infty e^{-t}\ln t\,dt}$

$=i\pi + L\{\ln t\}_{s=1}$

Since $L\{\ln t\}= -\dfrac{\gamma+\ln s}{s}$

therefore $\displaystyle{ \int_0^1 \ln\ln x\,dx =-\gamma+i\pi }$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
102. $\displaystyle{ \int_0^1 \ln\ln x\,dx\in\mathbb{R} }$

False

Let $x=e^u$

$\displaystyle{ \int_{-\infty}^0 e^u \ln u\,du }$ , and let $u=-t$

integral become $\displaystyle{ \int_0^\infty e^{-t}\ln(-t)\,dt }$

รู้ได้ไงครับว่า การเปลี่ยนตัวแปรยังใช้ได้ผล

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:


รู้ได้ไงครับว่า การเปลี่ยนตัวแปรยังใช้ได้ผล

มั่วครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
102. $\displaystyle{ \int_0^1 \ln\ln x\,dx\in\mathbb{R} }$

น้อง Mastermander ทำลัดไปนิดนึงครับ
นิยาม $Log(z) = \ln{|z|}+i \arg(z)$ เมื่อ $\arg(z)\in [0,2\pi)$
จะได้ว่า $\ln{\ln{x}}=\pi i + \ln{(-\ln{x})}$
ดังนั้น $\displaystyle{\int_0^1 \ln{\ln{x}} \, dx = \pi i + \int_0^1 \ln{(-\ln{x})} \, dx}$

ที่เหลือก็ทำต่อได้แล้วครับ

[Mastermander]

จะได้ว่า $ \ln{\ln{x}}=\pi i + \ln{\ln{(-x)}} $

มาได้อย่างไรครับ ??

คำตอบก็ไม่ตรงกันด้วยครับ

[nooonuii]

มาจากการคำนวณผิดพลาดครับ แก้ให้แล้วครับ

[passer-by]

123. Let $ (a_n) $ be sequence of nonnegative real numbers.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} na_n^2 \,\, \text{converges} \,\, \Rightarrow \,\, \sum_{n=1}^{\infty} a_n \,\, \text{converges} $$

[Coco]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
123. Let $ (a_n) $ be sequence of nonnegative real numbers.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} na_n^2 \,\, \text{converges} \,\, \Rightarrow \,\, \sum_{n=1}^{\infty} a_n \,\, \text{converges} $$

False ครับ

ให้ $a_{ n }=\displaystyle\frac{1}{(n+1)\text{log}(n+1)}$ ครับ

[M@gpie]

มาต่อปัญหาที่คาใจครับ กำลัง งงๆ
124. Assume that $ f : (-a,a) - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R} $, Then
\[ (a.) \; \; \; \lim_{x\rightarrow 0 } f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0} f(\sin x) = L \]
\[ (b.) \; \; \; \lim_{x\rightarrow 0 }f(x)=L \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0} f(|x|) = L \]

125. Assume that $ f : (-a,a) - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}^{+} $, Then
\[ \lim_{x\rightarrow 0 } \left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) = 2 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 1 \]

ข้อนี้เป็นข้อสงสัยครับ อยากถาม
126. Assume that $ f :\mathbb{R}- \{a \} \rightarrow \mathbb{R} $, Then
\[ \lim_{x\rightarrow a} \left( f(x) + \frac{1}{|f(x)|}\right) = 0 \] Determine $\lim_{x\rightarrow a} f(x) $
คำถามคือ ถ้าเราสมมติว่าลิมิตที่ต้องการมีจริงได้เลยรึเปล่า? ถ้าไม่ได้เราจะแสดงอย่างไรดีครับว่าลิมิตมีจริงก่อน

127. \[ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \; \; \text{converges if and only if} \; \; \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| < \infty \]

128. สืบเนื่องจากข้อที่ผมตอบผิด อิอิ คือเราทราบแล้วว่า
\[ \lim_{x\rightarrow a}g(x)=b, \; \lim_{x\rightarrow b}f(x)=c \Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}f(g(x)) = c \; \; ........(*)\]
ไม่เป็นจริง ตัวอย่างค้านดูได้ในกระทู้ ข้อสอบป.โทจุฬาฯ และเราก็ทราบว่าถ้า $f,g$ ต่อเนื่อง ประโยคนี้จะเป็นจริง แต่ จากทฤษฎีบทที่ว่า
\[ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = L \Rightarrow \; \; \text{for all sequences} \; \{x_n\} \text{such that} \; \; x_n\rightarrow a, \; \; \text{then} \;\; f(x_n)\rightarrow L\]
ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้ใช้สมบัติความต่อเนื่อง คำถามก็คือ จะมีเงื่อนไขที่ เบากว่าความต่อเนื่องของ $f,g$ ที่ทำให้ (*) เป็นจริงรึเปล่าครับ

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมของคุณ Coco:


False ครับ

ให้ $a_{ n }=\displaystyle\frac{1}{(n+1)\text{log}(n+1)}$ ครับ

ใช้วิธีไหนตรวจสอบหรอครับว่าลำดับนี้เป็นไปตามเงื่อนไข

129.$\displaystyle{\frac{\displaystyle{\int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{dwdxdydz}{1-wxyz}}}{\displaystyle{\int_0^1\int_0^1\frac{didj}{1-ij}}}}=\frac{e-\displaystyle{\frac{1}{ \sqrt{2}}}}{\pi}$