True - False Marathon

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:

129. $\displaystyle{\frac{\displaystyle{\int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{dwdxdydz}{1-wxyz}}}{\displaystyle{\int_0^1\int_0^1\frac{didj}{1-ij}}}}=\frac{e-\displaystyle{\frac{1}{ \sqrt{2}}}}{\pi}$

False...

Since
\[
\underbrace {\int_0^1 {\int_0^1 {\dots} \int_0^1 {\int_0^1 } } }_n \frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {dx_i } }}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {x_i } }}=\zeta(n)
\]
Hence, $$\displaystyle{\frac{\displaystyle{\int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{dwdxdydz}{1-wxyz}}}{\displaystyle{\int_0^1\int_0^1\frac{didj}{1-ij}}}}=\dfrac{\zeta (4)}{\zeta (2)}=\dfrac{\pi^2}{15}$$

[passer-by]

ข้อความเดิมของคุณ coco:
$$a_n=\frac{1}{(n+1)\text{log}(n+1)} $$

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
ใช้วิธีไหนตรวจสอบหรอครับว่าลำดับนี้เป็นไปตามเงื่อนไข

ผมขออธิบายโดยใช้ $ b_n = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & n=1 \\ \frac{1}{n\text{log}(n)} & n \geq 2 \end{array} \right.$

จากนั้นก็ใช้ integral test ครับ จะพบว่า $ \sum_{n=1}^{\infty} nb_n^2$ converges

และก็ใช้ integral test เช่นกันครับ ก็จะพบว่า $ \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ diverges.

ส่วนลำดับของคุณ coco ที่ define step เดียว ก็ใช้ได้ครับ เพราะ สำหรับ $ n \geq 2$ $$ \frac{n}{(n+1)^2\log^2(n+1)} < \frac{n}{n^2\log^2(n)} = nb_n^2 $$ แล้วก็ apply comparison test หลังจากนั้นก็ทำคล้ายๆที่ผมทำครับ

[Mastermander]

130.\[
\frac{{2^n }}{{2^n - 1}} \cdot \frac{{3^n }}{{3^n - 1}} \cdot \frac{{5^n }}{{5^n - 1}} \cdot \dots \cdot \frac{{p^n }}{{p^n - 1}} \dots
\]
Does it convergent ?

Where $p$ is prime, $n\in \mathbb{N}$

[Mastermander]

131. มีจำนวนเต็ม $(x,y,z)$ อยู่อย่างไม่จำกัดที่ทำให้
$$x+y+z=x^3+z^3+y^3=3$$

[Timestopper_STG]

New Entry
132.ในปัจจุบันมีจำนวนพาลินโดรมที่เป็นจำนวนเฉพาะและมีจำนวนหลักเป็นเลขคู่
(เช่น 11 เป็นจำนวนพาลินโดรมเฉพาะ2หลัก)ที่ถูกค้นพบเพียง3ตัวเท่านั้น
133.$\displaystyle{\int_0^1 x^x dx>\int_0^1 x^{-x} dx}$
134.$\displaystyle{\int_0^1 x^{-x} dx\in \mathbb{R}^+}$
135.$\displaystyle{\int_0^1 x^x dx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^k}}$
136.$\displaystyle{\int_0^1 x^{-x} dx\in \mathbb{Q}^+}$
(พิมพ์ข้อ134ผิดครับแต่แก้ไม่ทันละ เพิ่มไปเป็น136แทนละกันครับ )

[Mastermander]

134. $\displaystyle{\int_0^1 x^{-x} dx\in \mathbb{R}^+}$

เนื่องจากที่จุด $x=0$ มีค่าลิมิตเป็น 1 และช่วง (0,1) ไม่มี x ที่สามารถทำให้กราฟไปอยู่ใต้แกนได้

ฉะนั้นข้อนี้จริง

[Mastermander]

137. ในสามเหลี่ยม ABC สามารถมี ค่า $\tan A , \tan B , \tan C$ อยู่ในรูปของ $x,1-x,1+x$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
137. ในสามเหลี่ยม ABC สามารถมี ค่า $\tan A , \tan B , \tan C$ อยู่ในรูปของ $x,1-x,1+x$

เท็จครับ เราทราบว่า $\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} = \tan{A}\tan{B}\tan{C}$
แทนค่าลงไปแล้วแก้สมการจะได้ $x=-\sqrt[3]{2}$
ซึ่งจะได้ว่า $\tan{A}, \tan{B}, \tan{C}$ มีค่าเป็นลบอยู่ 2 ค่า
หมายความว่า มุม $A,B,C$ เป็นมุมป้านถึง 2 มุม ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะมีเหตุการณ์นี้ในรูปสามเหลี่ยม

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
131. มีจำนวนเต็ม $(x,y,z)$ อยู่อย่างไม่จำกัดที่ทำให้
$$x+y+z=x^3+z^3+y^3=3$$

เท็จครับ

อาศัยเอกลักษณ์ $$(x+y+z)^3- (x^3+y^3+z^3) =3(x+y)(y+z)(z+x)$$ ดังนั้น $$(x+y)(y+z)(z+x)=8$$ แทนค่า $z=3-x-y$ ลงไป จะได้ $$(x+y)(x-3)(y-3)=8$$ ซึ่งทำให้เราทราบว่า จำนวนคำตอบมีอยู่จำกัด แต่ถ้าเราอยากลองแก้สมการต่อไป ก็จะพบว่าคำตอบทั้งหมดคือ $$(x,y,z)=(1,1,1), (4,4,-5), (4,-5,4), (-5,4,4)$$ เกร็ด บังเอิญว่าคำตอบเหล่านี้ เป็นคำตอบทั้งหมดของสมการ Diophantine: $x^3+z^3+y^3=3$ ที่เรารู้ด้วย ซึ่งปัจจุบันนี้เราก็ยังไม่ทราบว่า มันมีคำตอบอยู่จำกัดหรือไม่เลยครับ

ถ้างั้นแถมโจทย์ให้ข้อนึงละกัน

138. มีจำนวนเต็ม $x,y,z$ อยู่อย่างไม่จำกัดที่ทำให้ $$x^3+y^3+z^3=2$$

[warut]

ถ้าหากคุณ nooonuii อยากจะเฉลยข้อไหนก็ไม่ต้องรอผมแล้วล่ะครับ เพราะผมคงมีเวลาคิด และโอกาสมาเล่นที่นี่ได้น้อยลงมาก คงติดตามทั้งของใหม่ของเก่าได้ไม่ทันแล้วล่ะครับ

[Mastermander]

139. สมการ $z^n =1$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับแล้ว จะมีรากสมการอยู่ n รากและเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
139. สมการ $z^n =1$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับแล้ว จะมีรากสมการอยู่ n รากและเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

จริง ครับ รากของสมการนี้คือ $1,\omega,\omega^2,...,\omega^{n-1}$ เมื่อ $\omega=e^{2\pi i/n}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:

71. $\displaystyle{ f(x) = \cases{e^{-1/x^2} & , x>0 \cr 0 & , x\leq 0} }$ เป็น smooth function (มีอนุพันธ์ทุกอันดับ)

87. ให้ $f : (a,b)\to R$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จะได้ว่า $f$ เป็น strictly monotone function ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

90. มีจำนวนจริง $a$ เพียงสามค่าที่ทำให้สมการ $(x+1)^2=|x+a|$ มีคำตอบที่แตกต่างกันสามคำตอบ

119. พื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยกราฟของความสัมพันธ์ $|x|+|y|=1$ คือ $2$ ตารางหน่วย

120. ระหว่างสามเหลี่ยมกับวงกลมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน วงกลมจะมีพื้นที่มากกว่าเสมอ

ได้เวลาเฉลยแล้วครับ ขอเฉลยโจทย์ในส่วนที่เป็นคำถามของผมก่อนนะครับ เพราะช่วงนี้ผมก็ไม่ค่อยได้คิดอย่างอื่นเลย บ้าโจทย์อสมการอย่างหนัก

คำตอบสำหรับทุกข้อ คือ จริง ครับ
71. ถ้า $x\neq 0$ จะเห็นว่า $f$ มีอนุพันธ์ทุกอันดับ
ถ้า $x=0$ จะได้ว่า $f^{(n)}(0)=0$ ทุกค่า $n$ โดยกฎของ L'Hospital
ข้อนี้เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับแต่ไม่เป็น Analytic function ครับ

87. ถ้า $f$ เป็น strictly monotone function แล้ว เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1
ต่อไปสมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 โดยไม่เสียนัยทั่วไปจะพิสูจน์ว่า $f$ เป็น strictly monotone increasing function

สมมติในทางขัดแย้งว่า $f$ ไม่เป็น strictly monotone increasing function
ดังนั้นจะมีจุดสามจุด $x,y,z$ ซึ่ง $x<y<z$ แต่ $f(x),f(z)<f(y)$ หรือ $f(x),f(z)>f(y)$
จะขอพิสูจน์กรณีแรกเท่านั้นนะครับ

สมมติว่า $f(x)<f(z)<f(y)$ (กรณี $f(z)<f(x)$ ก็ทำเหมือนกัน)
โดย Intermediate Value Theorem เราจะได้ว่ามี $c\in (x,y)$ ซึ่ง $f(c)=f(z)$
ดังนั้น $c=z$ เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 จึงเกิดข้อขัดแย้ง

Note : ผมละรายละเอียดหยุมหยิมไว้เยอะทีเดียวครับ ถ้าไม่เข้าใจตรงส่วนไหนก็ถามต่อได้ครับ

90. เราทราบว่า $$(x+1)^2=|x+a| \Leftrightarrow (x+1)^4=(x+a)^2 \Leftrightarrow (x^2+x+1-a)(x^2+3x+1+a)=0$$
การที่สมการนี้จะมีคำตอบที่แตกต่างกันสามคำตอบได้นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นสามกรณี คือ

กรณีที่ 1 $x^2+x+1-a$ มีรากซ้ำ แต่ $x^2+3x+1+a$ ไม่มีรากซ้ำ
เราจะได้ว่า $1^2-4(1)(1-a)=0 \Rightarrow a = 3/4$

กรณีที่ 2 $x^2+3x+1+a$ มีรากซ้ำ แต่ $x^2+x+1-a$ ไม่มีรากซ้ำ
เราจะได้ว่า $3^2-4(1)(1+a)=0 \Rightarrow a = 5/4$

กรณีที่ 3 ทั้งสองสมการไม่มีรากซ้ำ แต่มีรากร่วมกันอยู่หนึ่งราก สมมติว่าเป็น $b$
เราจะได้ว่า
$b^2+b+1-a=0$
$b^2+3b+1+a=0$
ดังนั้น $b=-a$
เราจึงได้ว่า $a^2-2a+1=0 \Rightarrow a = 1$

ดังนั้น $a=\frac{3}{4},1,\frac{5}{4}$

119. อาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยกราฟของความสัมพันธ์ $|x|+|y|=1$ คืออาณาบริเวณรูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัด ที่มีจุดยอดอยู่ที่ $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ 2 ตารางหน่วย

120. สมมติว่าสามเหลี่ยมมีความยาวด้านเป็น $a,b,c$ และวงกลมมีรัศมี $r$
ให้ $S=\frac{a+b+c}{2}$
เนื่องจากสามเหลี่ยมมีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากับวงกลมเราจะได้ $2S=2\pi r \Rightarrow S = \pi r$
โดย Heron's Formula เราจะได้พื้นที่สามเหลี่ยม คือ
$$\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$$

พื้นที่วงกลม คือ
$$\pi \Big(\frac{S}{\pi}\Big) ^2 = \frac{S^2}{\pi}$$

เราจะพิสูจน์ว่า $$\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}< \frac{S^2}{\pi}$$
โดยอสมการ AM-GM เราได้ว่า
$$\sqrt[4]{S(S-a)(S-b)(S-c)}\leq \frac{S+(S-a)+(S-b)+(S-c)}{4}=\frac{S}{2}$$
ดังนั้น
$$\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\leq \frac{S^2}{4} < \frac{S^2}{\pi}$$

[Timestopper_STG]

132.ในปัจจุบันมีจำนวนพาลินโดรมที่เป็นจำนวนเฉพาะและมีจำนวนหลักเป็นเลขคู่
(เช่น 11 เป็นจำนวนพาลินโดรมเฉพาะ2หลัก)ที่ถูกค้นพบเพียง3ตัวเท่านั้น
133.$\displaystyle{\int_0^1 x^x dx>\int_0^1 x^{-x} dx}$
134.$\displaystyle{\int_0^1 x^{-x} dx\in \mathbb{R}^+}$
135.$\displaystyle{\int_0^1 x^x dx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^k}}$
136.$\displaystyle{\int_0^1 x^{-x} dx\in \mathbb{Q}^+}$

132.It obvious that even digits palindromic number can be divide by 11.
Hint:133-136...$x^x=e^{x\ln x}$
ปล. ทำไมใส่Quoteละเครื่องหมายอินทิกรัลมันเอียงๆจนไม่เป็นรูปเลยอะครับ

[TOP]

หมายถึงในส่วนของ แสดงผลข้อความแบบรวดเร็ว หรือเปล่าครับ ถ้าใช่ ก็แก้ให้แล้วนะครับ