True - False Marathon

[nongtum]

105. ผลรวม $$z=0.1+0.01+0.002+0.0003+0.00005+0.000008+0.0000013+\dots$$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

106. ในจำนวนจริงเจ็ดตัว $y_1,\ y_2,\dots,y_7$ จะมีสองจำนวน $y_i,\ y_j$ ในนั้นที่ $$0\le\frac{y_i-y_j}{1+y_iy_j}\le\frac{1}{\sqrt3}$$

hint

Dirichlet's box principle and one of angle addition theorem

107. มีจำนวนเฉพาะอนันต์ตัวในลำดับ 3,7,11,...

ขอกั๊กคำถามที่เหลือไว้ปั่นกระทู้ครับ

Edit: แก้ hint ข้อ 106 ครับ ผมก็เพิ่งรู้นะว่าตกไปหนึ่งคำ ความหมายจะเป็นคนละเรื่องได้แบบนั้น

[M@gpie]

Dirichlet's principle คืออะไรเหรอครับ พี่ nongtum ผมหาแล้วมันเกี่ยวกับอินทิเกรตซะงั้น

[nongtum]

ขออภัยน้อง m@gpie ด้วยครับ Dirichlet's principle ในข้อ 106 ผมหมายถึง Dirichlet's box principle ครับ บอกว่ากฎรังนกน่าจะเข้าใจง่ายกว่า
ผมคงไม่ใจร้ายให้อินทิเกรตหรอกครับ เพราะอินทิเกรตแบบนั้นผมเองก็ยังทำไม่ได้เหมือนกัน

แก้ไข: แถมอีกข้อครับ ข้อนี้ขอให้น้องๆลองค้นคำตอบก่อน แล้วพี่ๆค่อยเสริมนะครับ (แต่จะช่วยแก้ภาษาในคำถามตามที่เห็นสมควรผมก้ไม่ขัดนะ)

108. มีรูปทรงสามมิติที่มีปริมาตรเป็นศูนย์ มีด้านเดียว กำหนดทิศไม่ได้ และเมื่อแบ่งครึ่งก็ได้แถบสองแถบที่มีด้านเดียว
(อ้อ ถ้าผมจำไม่ผิด คุณ warut เคยพูดถึงเรื่องนี้ในบอร์ดนี้ด้วยนะ)

[M@gpie]

อืมมม ตอนแรกก็เอะใจครับ เหมือนเคยเห็นแล้ว แต่จำไม่ได้ว่าที่ไหน อิอิ นึกได้แล้ว

ข้อ 106. พิจารณา ช่วง $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ โดยการแบ่งออกเป็น 6 ช่วงเท่าๆกันคือ
\[ (-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}], [-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{6}],[-\frac{\pi}{6},0], [0,\frac{\pi}{6}], [\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}], [\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}) \] และ ให้จำนวนจริงทั้ง 7 ตัว $\theta_i \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\; \; i=1,2,...,7 $
โดย Pegionhole principle จะได้ว่า ย่อมต้องมี $\theta_i$ และ $\theta_j$ ที่อยู่ในช่วงเดียวกัน จะได้ว่า $0\leq \theta_i-\theta_j \leq \frac{\pi}{6}$
และเนื่องจาก $\tan$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ จึงได้ว่า
\[ 0\leq \tan(\theta_i-\theta_j) \leq \tan \frac{\pi}{6} \Rightarrow 0\leq \frac{\tan(\theta_i)-\tan(\theta_j)}{1+\tan \theta_i \tan \theta_j} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
นั่นคือให้ $y_i =\tan\theta_i, \; y_j = \tan \theta_j$ ก็จะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
เมทริกซ์ในข้อต่อไปนี้หมายถึงเมทริกซ์ของจำนวนจริง

75. ทุกเมทริกซ์จัตุรัสสามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

ข้อความเดิมของคุณ warut:
เท็จครับ zero matrix ไม่สามารถเขียนในรูปผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐานได้

ถ้า $0=A+B$ นั่นคือ $B=-A$ เราจะได้ว่า ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน $B$ ก็จะเป็นเมทริกซ์เอกฐานด้วย และถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน $B$ ก็จะเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานด้วย

ผมยังติดใจข้อนี้อยู่อีกนิดนึง คืออยากทราบว่านอกจาก zero matrix แล้วยังมีคำตอบอื่นได้อีกรึเปล่า หรือ 0 จะเป็นข้อยกเว้นอันเดียวครับ

[passer-by]

105. False
$ \frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{2}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\frac{5}{10^5}+\cdots = z\cdots(1) $
$ \frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\frac{2}{10^4}+\frac{3}{10^5}+\frac{5}{10^6}+\cdots = \frac{z}{10}\cdots(2) $
$ (1)-(2);$
$ \frac{1}{10}+\frac{1}{10^3}+\frac{1}{10^4}+\frac{2}{10^5}+\frac{3}{10^6}+\cdots = \frac{9z}{10}\cdots(3) $
$(3)$ สามารถเขียนใหม่เป็น
$ \frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}(\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{2}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\cdots ) = \frac{9z}{10} $
$ \frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}\cdot z = \frac{9z}{10} \rightarrow z= \frac{10}{89} $

[passer-by]

107. TRUE

It's sufficient to show that there're infinitely many primes of the form $ 4k+3 $

Suppose for the contrary that there're only finite number of primes in that form,say, $ p_1,p_2,\cdots p_n $

Consider $ A= 4p_1p_2\cdots p_n -1 $

It's obvious that A is odd number. So prime divisor of A must be of the form $ 4m+1 $ or $4m+3$.

But all prime divisors of A can't be of the form $ 4m+1 $, since $ (4l+1)(4n+1)=4j+1 \,\, \exists j\in N. $ When we multiply this form of divisors finitely many times, it's impossible to be $A$.

So there exists at least one prime divisor of the form $ 4m+3 $ ,which isn't equal to $ p_1,p_2,\cdots p_n $ And it gives the contradiction.

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ผมยังติดใจข้อนี้อยู่อีกนิดนึง คืออยากทราบว่านอกจาก zero matrix แล้วยังมีคำตอบอื่นได้อีกรึเปล่า หรือ 0 จะเป็นข้อยกเว้นอันเดียวครับ

ทุกเมทริกซ์ไม่เอกฐานจะสามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐานได้ ซึ่งทำได้ง่ายๆโดยให้เมทริกซ์เอกฐานคือเมทริกซ์ศูนย์ครับ

ในส่วนของเมทริกซ์เอกฐาน ผมได้ว่าข้อความนี้ยังจริงอยู่สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ nilpotent matrix แต่ต้องให้สมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนซะแล้วล่ะครับเพราะผมเอา Jordan Form มาใช้

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์เอกฐานที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และไม่ใช่ nilpotent matrix เราจะได้ว่า
$$A=P^{-1}JP$$
เมื่อ $J$ คือ Jordan Form ของ $A$
เนื่องจาก $A$ ไม่ใช่ nilpotent matrix เราจะได้ว่า $J$ เป็น triangular matrix ซึ่งสมาชิกตามแนวเส้นทแยงมุมหลักไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด และต้องมีศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัวเนื่องจาก $A$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน(สมาชิกตามแนวเส้นทแยงมุมหลักของ $J$ คือ eigenvalue ของ $A$ และ $0$ ก็เป็น eigenvalue ของ $A$ ตัวหนึ่ง )
ให้ $B$ เป็น diagonal matrix ซึ่งสมาชิกตามแนวเส้นทแยงมุมหลักมีค่าดังนี้

$$b_{ii} = \cases{1 & , j_{ii}=0 \cr j_{ii} & , j_{ii}\neq 0}$$

เราจะได้ว่า $B$ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ $J-B$ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน
ดังนั้น $A=P^{-1}BP + P^{-1}(J-B)P$ เป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
สำหรับกรณีนี้จะลองไปคิดอีกรอบครับว่าถ้าสมาชิกเป็นจำนวนจริงจะทำได้รึเปล่า ซึ่งผมค่อนข้างมั่นใจว่าจะจริงครับ แต่คงจะยากขึ้นไปอีก

งั้นผมขอต่อข้อต่อไปด้วยโจทย์ข้อนี้เลยละกัน

109. ทุก nilpotent matrix (ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน) สามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

[Mastermander]

110. $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-\cos^2x)^{3/2}\,dx=0 $$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ทุกเมทริกซ์ไม่เอกฐานจะสามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐานได้ ซึ่งทำได้ง่ายๆโดยให้เมทริกซ์เอกฐานคือเมทริกซ์ศูนย์ครับ

ในส่วนของเมทริกซ์เอกฐาน ผมได้ว่าข้อความนี้ยังจริงอยู่สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ nilpotent matrix แต่ต้องให้สมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนซะแล้วล่ะครับเพราะผมเอา Jordan Form มาใช้

ในส่วนนี้ผมมีแนวคิดเหมือนกับคุณ nooonuii ทุกอย่างเลยครับ ยกเว้นการพิสูจน์ซึ่งผมไม่ได้ใช้ Jordan Form

ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์เอกฐานที่ไม่ใช่ nilpotent matrix $A$ จะมี eigenvalue $\lambda\in\mathbb C$ โดยที่ $\lambda\ne0$ ดังนั้นเราจึงเขียน $A$ ในรูปผลบวกของ เมทริกซ์เอกฐาน และ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน ได้ดังนี้ครับ $$A=(A-\lambda I)+\lambda I$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ในส่วนนี้ผมมีแนวคิดเหมือนกับคุณ nooonuii ทุกอย่างเลยครับ ยกเว้นการพิสูจน์ซึ่งผมไม่ได้ใช้ Jordan Form

ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์เอกฐานที่ไม่ใช่ nilpotent matrix $A$ จะมี eigenvalue $\lambda\in\mathbb C$ โดยที่ $\lambda\ne0$ ดังนั้นเราจึงเขียน $A$ ในรูปผลบวกของ เมทริกซ์เอกฐาน และ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน ได้ดังนี้ครับ $$A=(A-\lambda I)+\lambda I$$

อ้าวมันทำได้ง่ายๆเลยนี่นา ไม่น่าลงแรงใช้เครื่องมือหนักเลย

[warut]

แต่สิ่งที่คุณ nooonuii ทำมาไม่เสียเปล่าหรอกครับ เพราะผมก็ได้อาศัยใช้คลำทางพอทำข้อ 109. ไปได้ (มั้ง)

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
109. ทุก nilpotent matrix (ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน) สามารถเขียนเป็นผลบวกของเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

จริง สำหรับ nilpotent matrix ทุกอันที่ไม่ใช่ zero matrix (ในกรณีที่เป็น zero matrix จะเป็นเท็จตามที่ได้คุยกันไปแล้วในข้อ 75.)

ให้ $A\ne0$ เป็น nilpotent matrix ขนาด $n\times n$ และ $A=PJP^{-1}$ โดยที่ $J=\{a_{ij}\}$ คือ Jordan form ของ $A$

ให้ $B=\{b_{ij}\}$ เป็น $n\times n$ matrix ที่มี $$b_{ij}= \cases{ 1 & ,i=n,j=1 \\ 1 & , 2\le j=i+1\le n \\ 0 & ,\text{ otherwise}}$$ จะเห็นว่า $B$ เป็น non-singular matrix (เพราะ $\det B=(-1)^{n+1}$ )

เนื่องจาก $A\ne0$ ดังนั้น $J\ne0$ แสดงว่าจะต้องมี $i$ ที่ $1\le i\le n-1$ และ $a_{i,i+1}=1\ne0$ ดังนั้น $J-B$ จึงเป็น singular matrix (มีแถวที่เป็น $0$ หมด)

แสดงว่าเราสามารถเขียน $A$ ในรูปผลบวกของ เมทริกซ์เอกฐาน และ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน ได้ดังนี้ครับ $$A=P(J-B)P^{-1}+PBP^{-1}$$

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
110. $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-\cos^2x)^{3/2}\,dx=0 $$

False
$\displaystyle{\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-\cos^2x)^{3/2}dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\sin^2x)^{3/2}dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \bigg|\sin^{3}x\bigg|dx>0}$

111.ในลำดับ $1,4,9,...$ มีจำนวนพาลินโดรมอยู่เป็นอนันต์
112.มีจำนวนเฉพาะที่เป็นพาลินโดรมอยู่อย่างจำกัด

[Mastermander]

113.

"จำนวนเต็ม บวก จำนวนที่ลงท้ายด้วย 5 ย่อมหารด้วย 5 ลงตัวเสมอ"

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
113.

"จำนวนเต็ม บวก จำนวนที่ลงท้ายด้วย 5 ย่อมหารด้วย 5 ลงตัวเสมอ"

เท็จ $5\!\not|\;1+5$