Counting the function

[B บ ....]

1. How to prove(without combinatorics) that the set of all functions from {1,2,3,4,5} to {1,2,3} is finite ? (I think that the question asks for constructing a bijection from the set to $\{1,2,...,3^5\}$)

2. I can show that the set of all functions from {0,1} to $\mathbb{N}$ is countably infinite. The problem is I am not sure if the set of all functions from {1,2,3,4,5,...,n} where n is greater than or equal to 2 to $\mathbb{N}$ is countably infinite or uncountable. It seems far complicated than the preceding question.

Any hints or comments, please ? Thank you very much.

[nooonuii]

1. มันจะง่ายมากถ้าคุณรู้ cardinal arithmetic ครับ แต่ถ้าจะสร้าง bijection แบบที่กล่าวมาก็น่าจะโอเคครับ ลองหาวิธีสร้างดีๆก็น่าจะได้

2. ผมคิดว่าถ้าทำสองตัวได้ก็น่าจะทำ $n$ ตัวได้เหมือนกันนะ คำตอบคือ countable ครับ

สำหรับ Hint ลองพิสูจน์ว่า $\{f\mid f:\{0,1\}\to \mathbb{N}\} \cong \mathbb{N}\times\mathbb{N}$ ดูก่อนครับ สร้างฟังก์ชันได้ไม่ยากเลยเป็นธรรมชาติมากๆ

[B บ ....]

ขอบคุณคราบ จะพยายาม แต่ข้อแรกก็นึกฟังก์ชันไม่ออก ��