finite dimension and compactness

[konkoonJAi]

DefinitionA metric space X is said to be Compact if for every sequence $(x_{n})$ in $X$ there exists a subsequence $(x_{n_k})$ of $(x_{n})$ & element $x \in X$ such that $(x_{n_k}) \rightarrow x$.

Show that A discrete metric space $X$ with infinite dimensional is not compact.

เคยรู้มาว่า $\mathbb{P}=\{polynomails ~with ~real ~coefficients\}$ is infinite dimensional.
สงสัยว่าเราจะเลือกลำดับไหนมาแสดงดีคะ ตอนนี้เท่าที่ทราบคือว่า ถ้าเรามีลำดับ $(x_{n})$ เราจะได้ว่า $d(x_{n},x_{m})=1$ if $n \not= m$ นั่นคือ ทุกลำดับย่อยของ (x_{n}) ไม่เป็นลำดับ cauchy ดังนั้น ไม่ลู่เข้า
ก็เลยสังสัยว่า จะใช้เงื่อนไขที่เป็น infinite dimensional ยังไงคะ

[nooonuii]

infinite dimensional ในแง่ไหนครับ ช่วยนิยามให้ดูหน่อย

[nooonuii]

ถ้า $X$ เป็นเซตอนันต์ และมี discrete metric แล้ว $X$ จะไม่ compact เพราะว่า

ถ้า $x_n\to x$ แล้ว $x_n=x$ ทุก $n\geq N$ สำหรับบางค่า $N$

ดังนั้น ถ้า $X$ เป็นเซตอนันต์ เราสามารถสร้างลำดับ $x_n$ โดยให้ $x_n$

มีค่าต่างกันทั้งหมด จะเห็นว่าทุกลำดับย่อยของลำดับนี้ไม่ลู่เข้าครับ ดังนั้น $X$ ไม่ compact

[konkoonJAi]

infinite dimensional ในที่นี้หมายถึง $X$ มีสมาชิกเป็นอนันต์ เป็นความหมายเดียวกับที่คุณ nooonuii พิสูจน์ค่ะ
ขอบคุณมากๆ นะคะ สำหรับคำแนะนำ