#1
|
|||
|
|||
ตรีโกณมิติ
พอดีไปเจอมาเลยเอามาฝากน่ะครับ
1.) จงหาค่าของ $\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$ 2.) จงหา $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ ที่ทำให้ $\sin 5x=a_0+a_1\sin x+a_2 \sin 2x+...+a_5\sin 5x$ 3.) จงหาค่าของ $\left(\,1+\cos\dfrac{\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{3\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{5\pi}{7}\right) $
__________________
no pain no gain |
#2
|
|||
|
|||
เงียบกริบเลยครับ ฮ่าๆๆๆ
ปลุกหน่อยละกัน
__________________
no pain no gain |
#3
|
||||
|
||||
ให้ $\omega = \cos \frac{\pi}{7}+i\sin \frac{\pi}{7}$ จะได้ว่า $\omega^7=1$
และจะได้ว่า $$|1+\omega|^2=1+\cos \frac{\pi}{7}$$ $$\therefore \left(\,1+\cos\dfrac{\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{3\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{5\pi}{7}\right) =\frac{(|1+\omega||1+\omega^3||1+\omega^5|)^2}{8}=\frac{|2\omega|^2}{4}=\frac{1}{2}$$
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#4
|
|||
|
|||
#3
$\omega^7=cos\pi+i\sin\pi=-1$ ไม่ค่อยมีใครมากเลย ฮ่าๆ พึ่งได้ข้อเดียว แนวทาง:2) ใช้ทฤษฎีบทเดอร์มัวฟ์ แล้วก็กระจายทวินามครับ
__________________
no pain no gain 02 กรกฎาคม 2011 22:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ No.Name |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=0$ $a_5=1$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
นึกว่าเป็นโจทย์ที่วัดความรอบครอบ
__________________
no pain no gain |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\left(\,1+\cos\dfrac{\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{3\pi}{7}\right) \left(\,1+\cos\dfrac{5\pi}{7}\right)=\left(\,1-\cos\dfrac{2\pi}{7}\right) \left(\,1-\cos\dfrac{4\pi}{7}\right) \left(\,1-\cos\dfrac{6\pi}{7}\right)$ $=\left(\,2\sin^2\dfrac{\pi}{7}\right) \left(\,2\sin^2\dfrac{2\pi}{7}\right) \left(\,2\sin^2\dfrac{3\pi}{7}\right)$ $=8 \left(\,\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}\right)^2$ $=8(\dfrac{\sqrt{7}}{8})^2$ $=\dfrac{7}{8}$ เนื่องจาก $\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}\sin\dfrac{4\pi}{7}\sin\dfrac{5\pi}{7}\sin\dfrac{6\pi}{7}=\dfrac{7}{2^{ 6}}$ $\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}\sin(\pi-\dfrac{3\pi}{7})\sin(\pi-\dfrac{2\pi}{7})\sin(\pi-\dfrac{\pi}{7})=\dfrac{7}{2^6}$ $(\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7})^2=\dfrac{7}{2^6}$ $\sin\dfrac{\pi}{7}\sin\dfrac{2\pi}{7}\sin\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{\sqrt{7}}{8}$
__________________
no pain no gain 04 กรกฎาคม 2011 21:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ No.Name |
#8
|
||||
|
||||
#7
พิมพ์อะไรผิดป่าวคับ |
#9
|
||||
|
||||
2.)
$\sin 5x=\dfrac{(\cos 5x+i\sin 5x)-(\cos 5x-i\sin 5x)}{2i}$ $~~~~~~=\dfrac{(\cos x+i\sin x)^5-(\cos x-i\sin x)^5}{2i}$ แบบนี้หรือเปล่า(แอบครูเล่น) |
#10
|
||||
|
||||
ลองกระจายดูสิครับ : )
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#11
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$a_0=\sin{5x}, a_1=a_2=a_3=a_4=0$ ผมจะได้คะแนนมั้ย โจทย์ข้อนี้ไม่ได้กำหนดขอบเขตของ $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ เอาไว้เลย คำตอบจึงมีมากมายเป็นอนันต์ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#12
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ที่จะบอกว่ามันมีจำกัดนะ ว่ามากมายอนันต์นะ
__________________
no pain no gain |
#13
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
คำตอบจึงมีได้มากมายเป็นอนันต์ เพราะเราสามารถกำหนดค่าตัวแปรตามใจชอบได้เช่น $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(\sin{5x}-t\sin{x},t,0,0,0), t\in\mathbb{R}$ และอีกมากมายครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#14
|
|||
|
|||
โจทย์ที่สมบูรณ์แบบคงจะเป็น :-
จงหาค่าคงที่ $a_i$ ที่ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริงทุกจำนวนจริง $x$ |
#15
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(0,0,0,0,0,1)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 08 กรกฎาคม 2011 09:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
|
|