|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์ AM-GM 2 ข้อครับ
$ 1.ให้ a_1,a_2,...,a_n เป็นจำนวนจริงบวก n จำนวน และให้ b_1,b_2,...,b_n เป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนชุดหนึ่งของ a_1,a_2,...,a_n จงแสดงว่า \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+...+\frac{a_n}{b_n}\geqslant n $
$2.สำหรับจำนวนจริงบวก a,b,c ใดๆ จงพิสูจน์ว่า \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geqslant \frac{9}{a+b+c}$ ช่วยทีครับ
__________________
|
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\frac{1}{a} +\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}$ |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ทำให้ได้ว่า $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$$ เเละจากอสมการ Cauchy $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$$ $$= \frac{1}{\frac{1}{2}(a+b)}+\frac{1}{\frac{1}{2}(b+c)}+\frac{1}{\frac{1}{2}(c+a)} \ge \frac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#4
|
||||
|
||||
ข้อแรกใช้ AM-GM ธรรมดานี่ครับ
(ใส่ AM-GM ธรรมดาแล้วข้างในตัวรากที่ n จะตัดกันหมดเป็น 1)
__________________
keep your way.
|
#5
|
||||
|
||||
ข้อ2....ตอนพิสูจน์ว่า
$\frac{2}{a+b} +\frac{2}{b+c} +\frac{2}{a+c} \geqslant \frac{9}{a+b+c} $ ใช้ $AM-GM-HM$ ก็ได้ $\frac{\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{a+c}}{3} \geqslant \frac{3}{(a+b)+(b+c)+(a+c)} $ $\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{a+c} \geqslant \frac{9}{2(a+b+c)} $ $\frac{2}{a+b} +\frac{2}{b+c} +\frac{2}{a+c} \geqslant \frac{9}{(a+b+c)}$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#6
|
||||
|
||||
ยังไงครับ ช่วยเเสดงวิธีให้ดูหน่อย
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#7
|
||||
|
||||
คือข้อ 1 ผมไม่เข้าใจคำว่า $ให้ b_1,b_2,...,b_n เป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนชุดหนึ่งของ a_1,a_2,...,a_n $ อะครับช่วยอธิบายให้ทีครับ
__________________
|
#8
|
||||
|
||||
ก็อย่างเช่นว่า ถ้า $n=4,\,\, a:1,3,3,8$ แล้ว $b$ ก็อาจจจะเป็น $1,8,3,3$ หรือ $3,8,1,3$ และอื่นๆ
|
#9
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เพราะลำดับ $b_n$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของลำดับ $a_n$ จึงได้ว่าทุกตัวต้องมีคู่ของมันมาหารกันเสมอ เลยได้ 1
__________________
keep your way.
|
#10
|
||||
|
||||
ผมขอถามโจทย์เพิ่มนะครับ
จงพิสูจน์ว่า 1. จงพิสูจน์ว่า $(n+1)^{\frac{n-1}{2}}$ $<$ $n!$ $<$ $n^n$ และ ให้ $n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $n\geqslant 2$ 2.จงแสดงว่า $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}$ $\geqslant \frac{1}{2}$ สำหรับจำนวนนับ $n$ ใด ๆ 3.จงแสดงว่า $(n!)^2 \geqslant (n+1)^{n-1}$ สำหรับจำนวนนับ $n$ ใด ๆ 4.ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จงพิสูจน์ว่า 32 เท่าของพื้นที่มีค่าไม่เกินกำลังสองของความยาวรอบรูป
__________________
|
#11
|
||||
|
||||
1,2,3
เป็นแบบฝึกหัดเรื่องอุปนัย 4 Heron ก็น่าจะหลุดนะ Edited : ไม่จริงนี่ครับ 16 กันยายน 2011 22:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Amankris |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
โดย อสมการ A.M.-H.M. $$\Big(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}\Big)((n+1)+(n+2)+(n+3)+...+2n)\ge n^2$$ $$\rightarrow \Big(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}\Big)\ge \frac{n^2}{(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+2n}=\frac{2n}{3n+1}\ge \frac{1}{2}$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#13
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จากโจทย์ ให้ความยาวด้านของ 3 เหลี่ยมเป็น $a,b,c$ เราจึงจะพิสูจน์ว่า $$32\sqrt{\Big(\frac{a+b+c}{2}\Big)\Big(\frac{a-b+c}{2}\Big)\Big(\frac{a+b-c}{2}\Big)\Big(\frac{-a+b+c}{2}\Big)}\leq (a+b+c)^2\leftrightarrow (a+b+c)^2\ge 8\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(b+c-a)(c+b-a)}$$ เเต่จาก A.M.-G.M. $$\Big((a-b+c)+(b-c+a)+(c-a+b)\Big)\ge 3\sqrt[3]{(a-b+c)(b+c-a)(c+b-a)}\rightarrow (a+b+c)^{\frac{3}{2}}\ge 3\sqrt{3}\sqrt{(a-b+c)(b+c-a)(c+b-a)}$$ $$\rightarrow (a+b+c)^2\ge 3\sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(b+c-a)(c+b-a)}$$ ซึ่งมั่นเเปลกๆอ่ะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#14
|
||||
|
||||
รบกวนคุณ Amankris ช่วย Contradict ให้ดูหน่อยครับ เพราะผมลองแล้วอสมการมันจริงครับ
(ผมลอง Store ตัวแปรไม่กี่ค่าครับ)
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#15
|
||||
|
||||
#14
ลองสามเหลี่ยมด้านเท่ายังครับ |
|
|