![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#196
|
|||
|
|||
![]() ข้อ $61$ $K_n$ ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มใช่มั้ยครับ
ผมได้ $K_n=\dfrac{3y_n-x_n-2}{4}$ ![]()
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#197
|
||||
|
||||
![]() ข้อ 59 ไม่ทราบว่า่แบบนี้ถูกไหมครับ
เนื่องจาก เมื่อ $n>1$ แล้ว $2\not |n!+1$ $\therefore ให้ n,k>1$ ถ้า $n!+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ เราก็เลือก $((n!+1)-1)!+1=(n!)!+1$ ซึ่งจาก Wilson's Theorem จะได้ $(n!+1)|(n!)!+1$ $\therefore (n!+1,(n!)!+1)=n!+1>1$ แต่กรณีจะใช้ไม่ได้เมื่อ $n=2$ ถ้า $n!+1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เราเลือกจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ทำให้ $p|n!+1$ และ $p-1\not =n$ จาก Wilson's Theorem จะได้ $p|(p-1)!+1$ $\therefore (n!+1,(p-1)!+1)\geq p>1$ แต่กรณีนี้จะใช้ไม่ได้เมื่อ $n=4$ 24 กรกฎาคม 2008 18:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin |
#198
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
เลือกได้แน่หรือครับ |
#199
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
เมื่อเราได้คำตอบ $(p-1,a)$ มาอันนึงแล้ว เราสามารถสร้างคำตอบอันต่อไปได้โดยวิธีเดียวกัน แต่ที่สำคัญเราต้องแสดงว่า คำตอบใหม่นั้นไม่ซ้ำเดิม ซึ่งทางหนึ่งคือเลือก $k=p$ คำตอบใหม่ก็จะเป็น $(q-1,p)$ เมื่อ $q$ คือตัวประกอบเฉพาะของ $p!+1$ ซึ่งคำตอบใหม่นี้ไม่มีทางซ้ำเดิม เพราะ $p>a$ และ $q>p$ ครับ ให้ $n=1$ และ $k>2$ เราจะได้ $\gcd(n!-1,k!-1)=k!-1>1$ ครับ |
#200
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
ส่วนข้อ 60 ขอคำตอบที่ $n,k$ ไม่เป็น 1 ละกันนะครับ เพิ่มโจทย์สักหน่อย 62. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ แต่ละตัว จงหาหรม.ของ $n!+1$ และ $(n+1)!$ 63. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $a,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $2^p+3^p=a^n$ จงหาค่า $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 64. ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็ม และ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก นิยาม $z_a(x,y)=\frac{x^2+y^2+a}{xy}$ (a) จงแสดงว่ามี $a$ เป็นอนันต์ตัว ซึ่ง $z_a(x,y)$ เป็นจำนวนเต็ม สำหรับ $(x,y)$ เป็นอนันต์คู่ (b) จงหา $a$ ทั้งหมด ซึ่งเซต $E(a)$ ของค่า $z_a(x,y)$ ทั้งหมดที่เกิดขึ้น เป็นเซตจำกัด |
#201
|
|||
|
|||
![]()
น่าจะใช้ความจริงที่ว่า $(p-2)!\equiv1\pmod p$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ ร่วมกับเทคนิคแบบที่ผมทำในข้อ 59. จัดการได้ครับ
|
#202
|
||||
|
||||
![]()
ต้องขอโทษด้วยครับ พอดีตอนนั้นสะเพร่าไป... ขอแก้ตัวละกันนะครับ
![]() 62. แบ่ง $n+1$ เป็น 2 กรณีดังนี้ i)$n+1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 1)$n+1=4$ จะได้ $(n!+1,(n+1)!)=1$ 2)$n+1>4$ ซึ่งจะได้ $(n+1)|n!$ และจาก $k|n!$ ทุก $k=1,2,...,n$, $\therefore (n!+1,k)=1$ ทุก $k=1,2,...,n+1$ $\therefore (n!+1,(n+1)!)=(n!+1,(1)(2)...(n+1))=1$ ii)$n+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ จาก $k|n!$ ทุก $k=1,2,...,n$ $\therefore (n!+1,k)=1$ ทุก $k=1,2,...,n$ และจาก Wilson's Theorem, ได้ว่า $(n+1)|n!+1$ $\therefore (n!+1,(n+1)!)=(n!+1,n+1)$ ($\because (n!+1,k)=1$ ทุก $k=1,2,...,n$) $=n+1$ ($\because (n!+1,n+1)=n+1$) ดังนั้นสรุปได้ว่า $(n!+1,(n+1)!)=\cases{1 & , n+1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ \cr n+1 & , n+1 เป็นจำนวนเฉพาะ}$ 26 กรกฎาคม 2008 11:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin |
#203
|
|||
|
|||
![]() แนวคิดเยี่ยมทั้งสองข้อเลยครับ
![]() |
#204
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
สำหรับวิธีใช้กำลังที่ผมว่านั้น คือทำตรงๆดังนี้ครับ จากที่โจทย์ให้ เราจะได้ว่า $$x_{n+2} = 2x_{n+1} +3y_{n+1} = 2x_{n+1} +3(x_n+2y_n) = 2x_{n+1} +3x_n +6y_n$$ เมื่อรวมกับ $x_{n+1}=2x_n+3y_n$ เราจึงได้ว่า $$x_{n+2} = 4x_{n+1} -x_n$$ โดยที่ $x_1=2$ และ $x_2=7$ แก้ difference equation อันนี้ เราได้ $$x_n= \frac12 (a^n + a^{-n}) $$ เมื่อ $a=2+\sqrt3$ จาก $$x_{2n+1}= 2(K_n^2+(K_n+1)^2) = (2K_n+1)^2+1$$ และ $$x_{2n+1}-1 = \frac12 (a^{2n+1} + a^{-(2n+1)} - 2) = \frac12 (a^{n+1/2} - a^{-(n+1/2)} )^2$$ ดังนั้น $$K_n= \frac{(1+\sqrt3)}{4} a^n + \frac{(1-\sqrt3)}{4} a^{-n} -\frac12 $$ เพราะ $\sqrt a= \dfrac{1+\sqrt3}{\sqrt2} $ คำนวณย้อนกลับหา linear recurrence relation เราจะพบว่า $$K_{n+2} =4K_{n+1} -K_n +1$$ โดยที่ $K_0=0$ และ $K_1=2$ โดย induction เรารู้ว่า $K_{n+1}>K_n$ ดังนั้น $\{K_n\}_{n\ge1}$ จึงเป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก ตามที่โจทย์ต้องการครับ สำหรับวิธีทำเจ๋งๆของข้อนี้ หรือวิธีทำของข้อที่เหลือ (ข้อ 64. ดูท่าทางน่าสนใจมาก) คงต้องปล่อยให้เป็นหน้าที่ของคนอื่นๆแล้วล่ะครับ ![]() |
#205
|
||||
|
||||
![]() 63.
พิจารณา $2^x,3^x\pmod{25}$ $\bmatrix{x\equiv & 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\pmod{25} \\ 2^x\equiv & 1&2&4&8&16&7&14&3&6&12&24&23&21&17&9&18&11&22&19&13\pmod{25}\\ 3^x\equiv & 1&3&9&2&6&18&4&12&11&8&24&22&16&23&19&7&21&13&14&17\pmod{25}\\ \therefore 2^x+3^x\equiv & 2&5&13&10&22&0&18&15&17&20&23&20&12&15&3&0&7&10&8&5\pmod{25}}$ ดังนั้นถ้า $n>1$ แล้ว $x\equiv 5,15\pmod{20}\rightarrow x\equiv 5\pmod{10}$ ซึ่งจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย $5$ มี $5$ เพียงตัวเดียวเท่านั้น และจาก $2^5+3^5=275=5^2\times 11$ $\therefore n=1$ เท่านั้น 27 กรกฎาคม 2008 17:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin |
#206
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
แต่ผมคำนวณผิดที่ไหนซักแห่งก็เลยเลิกคิดไปแล้ว ![]() ผมหา $x_n,y_n$ โดยตั้งสมการแบบนี้ครับ $\pmatrix{x_{n+1}\\ y_{n+1}} = \pmatrix{2 & 3 \\ 1 & 2}\pmatrix{x_n \\ y_n}$ $~~~~~~~~~~~=\pmatrix{2 & 3 \\ 1 & 2}^n\pmatrix{x_1 \\ y_1}$ จากนั้นก็ใช้ linear algebra ล้วนๆ ป.ล. คุณ warut หายยุ่งแล้วใช่มั้ยครับ เห็นโจทย์ทฤษฎีจำนวนยากๆทีไรคิดถึงคุณ warut ทุกทีเลย ![]()
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#207
|
||||
|
||||
![]() ข้อ 62 ใช้Euclidean algorithm ไม่ได้เหรอครับ เพราะตอนหาได้เศษเป็น $n+1$
|
#208
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
![]() เดี๋ยวนี้โจทย์ที่นี่ยากจริงๆครับ เห็นแล้วท้อ (คงความรู้สึกเดียวกับที่น้องๆเห็นโจทย์ Warm Up ของคุณ passer-by ซึ่งผมก็ทำไม่ค่อยได้เหมือนกัน ![]() |
#209
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
ผมไม่เข้าใจครับ(ผมความรู้ไม่ถึงครับแต่จะเป็นประโยชน์มากครับถ้านำแนวคิดข้อนี้ไปพิสูจน์ข้ออื่นๆครับ ![]()
__________________
ปีหน้าฟ้าใหม่ จัดกันได้ที่ค่ายฟิสิกส์ |
#210
|
|||
|
|||
![]()
$a^2 \equiv 0,1\pmod{3}$ เท่านั้นครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 23: Number Theory once more | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 17 | 28 ธันวาคม 2011 20:38 |
ช่วยคิดหน่อยครับ เกี่ยวกับ Number Theory | kanji | ทฤษฎีจำนวน | 0 | 08 กันยายน 2006 18:22 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 5: From Number Theory Marathon | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 9 | 17 มกราคม 2006 18:47 |
ปัญหา Number Theory | kanji | ทฤษฎีจำนวน | 4 | 16 พฤศจิกายน 2005 20:30 |
ขอลองตั้งคำถามบ้างครับ (Number theory) | Nay | ทฤษฎีจำนวน | 3 | 15 พฤษภาคม 2005 13:40 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|