![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#91
|
||||
|
||||
![]() 31. จงยกตัวอย่างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และมีความยาวของรัศมีเป็นจำนวนอตรรกยะ แต่วงกลมผ่านจุดที่เป็นคู่อันดับของจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนอนันต์จุด
__________________
สนใจคณิตศาสตร์ครับ ช่วยชี้แนะด้วยครับ |
#92
|
|||
|
|||
![]() ตัวอย่างก็เช่น วงกลมรัศมี \(\sqrt2\) ครับ เพราะว่า\[\left(\frac{m^2-2m-1}{m^2+1}\right)^2+\left(\frac{m^2+2m-1}{m^2+1}\right)^2=2\]
|
#93
|
||||
|
||||
![]() ขอขุดกระทู้ด้วยคำถามง่ายๆอีกสองข้อละกันนะครับ
32. ให้ p เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ q=2p-1 เป็นจำนวนเฉพาะ และ n=2p-1q จงแสดงว่า $$\sum_{d|n,\ d>0}\frac{1}{d}=2$$ 33. จำนวนเต็มบวก $x,\ y$ สอดคล้องกับสมการ $3x^2+x=4y^2+y$ จงแสดงว่า $x-y,\ 3x+3y+1,\ 4x+4y+1$ เป็นจำนวนจัตุรัส
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#94
|
|||
|
|||
![]() จงหาค่า n ทั้งหมดที่ทำให้ 2n+1 หาร nกำลัง2 - 2548 ลงตัว
|
#95
|
||||
|
||||
![]() อ้างอิง:
พิจารณา factor=2n+1 ทีละตัวดังนี้(ขออนุญาตย่อ ที่เว้นๆไว้ลองทดเองนะครับ) $$\begin{array}{lll} 2n+1&n&S&หารลงตัว?\\ 1&0&(-1-10191)/4&\text{yes}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\text{yes}\\ 10191&5095&(10189-1)/4&\text{yes}\\ \end{array}$$ ดังนั้นจำนวนเต็ม n ที่สอดคล้องเงื่อนไขด้านบนคือค่า n ที่ทำให้ 2n+1 เป็นตัวประกอบที่เป็นบวกและลบทุกตัวของ 10191 (บังคับทดกันทางอ้อม) ส่วนอีกข้อที่ถาม(mod ลบไปแล้ว)พิมพ์ขยายความแล้วที่กระทู้เดิมนะครับ แนะนำว่าให้ลองทดเองไปด้วยเพื่อความเข้าใจ ปล. ข้อ 32 สามารถทดหาคำตอบได้โดยตรงครับ ส่วนข้อ 33 ลองจัดรูปดูนะครับ หากแสดงได้หนึ่งตัว อีกสองตัวที่เหลือก็จะตามมาเองครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 06 เมษายน 2007 09:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: Tag Post |
#96
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
ดังนั้น $2n+1\mid n^2-2548$ ก็ต่อเมื่อ $2n+1\mid4(n^2-2548)$ จาก $$\frac{4(n^2-2548)}{2n+1}= \frac{4n^2-1-10191}{2n+1}= 2n-1-\frac{10191}{2n+1}$$ เราจึงรู้ว่า $2n+1\mid n^2-2548$ ก็ต่อเมื่อ $2n+1$ เป็นตัวประกอบ(คี่)ของ $10191$ ตัวประกอบทั้งหมดที่เป็นบวกของ $10191= 3^1 \cdot 43^1 \cdot 79^1$ ซึ่งทุกตัวเป็นจำนวนคี่ มีอยู่ $(1+1)(1+1)(1+1) =8$ ตัว ดังนั้นจึงมีค่า $n$ ที่ต้องการทั้งหมด $8\times2 =16$ ค่าครับผม ![]() |
#97
|
|||
|
|||
![]() ไม่มีใครทำ ผมทำเองก็ได้
![]() อ้างอิง:
ให้สังเกตว่า $\{d\mid d|n\}$ ก็คือเซ็ตเดียวกันกับ $\{n/d\mid d|n\}$ ดังนั้น $$n\sum_{d|n}\frac{1}{d} = \sum_{d|n}\frac{n}{d} = \sum_{d|n}d=2n$$ซึ่งจะทำให้เราได้ผลที่ต้องการตามมาในทันทีครับ อ้างอิง:
$x^2= 4x^2-4y^2+x-y= (x-y)(4x+4y+1) \quad (\star)$ $y^2= 3x^2-3y^2+x-y = (x-y)(3x+3y+1)$ ดังนั้น $x^2y^2=(x-y)^2(3x+3y+1)(4x+4y+1)$ แสดงว่า $(3x+3y+1)(4x+4y+1)$ เป็น perfect square แต่เนื่องจาก $\gcd(3x+3y+1,4x+4y+1)=1$ เพราะ $4(3x+3y+1)-3(4x+4y+1)=1$ เราจึงสรุปได้ว่า $3x+3y+1$ และ $4x+4y+1$ ต่างก็เป็น perfect square และจาก $(\star)$ เราจึงได้ว่า $x-y$ ก็เป็น perfect square ด้วยครับ ![]() 06 เมษายน 2007 09:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: Tag Post |
#98
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
อ้างอิง:
![]() |
#99
|
|||
|
|||
![]() สงสัยผมจะมั่วหรือไม่ก็เมา เอาเป็นว่าขอแก้ตัวละกันครับ
จากสมการเวียงบังเกิดคูณด้วยตัวแปร $x^n$ แล้ว take summation จาก $n=1$ ถึง $\infty$ ถ้าให้ $f(x)=\sum_0^\infty a_nx^n$ จะได้ว่า $f(x)$ สอดคล้องสมการอนุพันธ์ $$ \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1+3x}{1-2x-3x^2} $$ แก้สมการได้ $f(x)=1/\sqrt{(1+x)(1-3x)}$ กระจายอนุกรม binomial รอบจุด $x=0$ ของ $1/\sqrt{1+x}$ และ $1/\sqrt{1-3x}$ จะได้ $$ a_n=\frac{1}{4^n}\sum_{k+l=n}(-1)^k3^l{2k\choose k}{2l\choose l} $$ ($k,l\in\mathbb{Z}_{\geq0}$) ดังนั้นเราเหลือเพียงพิสูจน์ว่า $4^n$ หาร $\sum_{k+l=n}(-1)^k3^l{2k\choose k}{2l\choose l}$ ลงตัว ซึ่งสมมูลกับ $$ 4^n\mid\sum_{k+l=n}{2k\choose k}{2l\choose l} $$ แต่พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ผลบวก $\sum_{k+l=n}{2k\choose k}{2l\choose l}=4^n$ DONE 14 มีนาคม 2006 10:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#100
|
|||
|
|||
![]() ขอบคุณมากครับคุณ Punk แล้วผมจะค่อยๆทำความเข้าใจอีกที เอ... แล้วเฉลยของคุณ nongtum เป็นแบบนี้รึเปล่าครับ
|
#101
|
|||
|
|||
![]() เอ่อ... ยังไม่เข้าใจครับว่าทำไมการพิสูจน์ว่า $4^n$ หาร $$\sum_{k+l=n} (-1)^k3^l {2k\choose k}{2l\choose l}$$ ลงตัว ถึงสมมูลกับการพิสูจน์ว่า $4^n$ หาร $$\sum_{k+l=n} {2k\choose k}{2l\choose l}$$ ลงตัว
แล้วคุณ nongtum ล่ะครับ มีเฉลยของข้อนี้หรือเปล่า ขอบคุณล่วงหน้าทั้งสองท่านเลยนะครับ |
#102
|
||||
|
||||
![]() ขอโทษครับที่มาตอบช้า ผมมีเฉลยครับเป็นภาษาฮังการี แต่ช่วงนี้ยังไม่มีเวลาแกะ/พิมพ์เฉลย หากสนใจอยากช่วยแกะลองตามไปดูได้ที่นี่ครับ Kömal N.149 มีสามหน้า (163-165) แต่ยังไงๆผมก็จะกลับมาพิมพ์เองอีกทีอยู่แล้วหากว่างพอครับ
ส่วนที่คุณ warut สงสัย ผมคิดว่ามันเป็นเพราะ $\gcd((-1)^k3^l,4^n)=1\ \forall k,l,n\in\mathbb{Z}$ ครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#103
|
|||
|
|||
![]() ขอบคุณครับคุณ nongtum มาบอกข้อมูลไว้อย่างนี้ก็โอเคแล้วครับ ถ้าไม่ว่างก็ไม่จำเป็นต้องแปลหรอกครับ ผมก็แค่ไล่เช็คดูว่ายังมีข้อไหนในกระทู้นี้ที่ผมยังไม่เคลียร์บ้าง แต่เท่าที่ดูเฉลย (แม้จะอ่านภาษาฮังการีไม่ออกเลยซักตัว) ก็รู้สึกได้ว่าข้อนี้น่าจะยากมากๆครับ
|
#104
|
|||
|
|||
![]() งั้นผมขอต่อละกันครับ
จงหาคู่อันดับ (m,n) เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ที่ทำให้ (n3+1)/(mn-1) เป็นจำนวนเต็มบวก ปล. ช่วยสอนวิธีพิมพ์เศษส่วนให้ด้วยครับ พิมพ์ไม่เป็นอะ 01 เมษายน 2006 20:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pheeradej |
#105
|
|||
|
|||
![]() ปลุกกระทู้ครับ
![]() ![]()
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 23: Number Theory once more | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 17 | 28 ธันวาคม 2011 20:38 |
ช่วยคิดหน่อยครับ เกี่ยวกับ Number Theory | kanji | ทฤษฎีจำนวน | 0 | 08 กันยายน 2006 18:22 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 5: From Number Theory Marathon | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 9 | 17 มกราคม 2006 18:47 |
ปัญหา Number Theory | kanji | ทฤษฎีจำนวน | 4 | 16 พฤศจิกายน 2005 20:30 |
ขอลองตั้งคำถามบ้างครับ (Number theory) | Nay | ทฤษฎีจำนวน | 3 | 15 พฤษภาคม 2005 13:40 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|