![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
![]() ตอนนี้เอมเรียนอยู่ที่โรงเรียนมหิดลวิทย์ค่ะ
เรื่อง Graph เอมเอาไปคิดต่อจากค่ายที่อุบล ได้ผลเป็นอย่างนี้........ [Original Message] ที่เคยส่งไป >>> เรื่องนี้เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของเส้นตรงที่ทำให้เกิดส่วนโค้ง (ได้แนวคิดมาจากรูป 2 มิติบนหน้าปกหนังสือเลข ม.3 เล่มหนึ่ง เป็นส่วนโค้งที่สร้างขึ้นมาจากเส้นตรง เอมสนใจ ลองไปถามอาจารย์คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนแล้ว เค้าบอกว่ามันเป็นเพียงศิลปะของการ ใช้เส้นแต่สนใจก็เลยลองคิดๆดูค่ะ) จากรูปที่เห็น นำมา Plot กราฟ ด้วยวิธีต่อไปนี้ ใช้ระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียน ขั้นแรกสนใจที่ควอดรันต์ที่ 1 คือ (+,+) จากนั้นลองลากเส้นต่อไปนี้ เส้นตรงที่ 1 ผ่านพิกัด(1,0)และ(0,10) เส้นตรงที่ 2 ผ่านพิกัด(2,0)และ(0,9) เส้นตรงที่ 3 ผ่านพิกัด(3,0)และ(0,8) เส้นตรงที่ 4 ผ่านพิกัด(4,0)และ(0,7) เส้นตรงที่ 5 ผ่านพิกัด(5,0)และ(0,6) เส้นตรงที่ 6 ผ่านพิกัด(6,0)และ(0,5) เส้นตรงที่ 7 ผ่านพิกัด(7,0)และ(0,4) เส้นตรงที่ 8 ผ่านพิกัด(8,0)และ(0,3) เส้นตรงที่ 9 ผ่านพิกัด(9,0)และ(0,2) เส้นตรงที่ 10 ผ่านพิกัด(10,0)และ(0,1) จะได้ว่า สมการของเส้นตรงที่ 1 คือ x+10y-10=0 สมการของเส้นตรงที่ 2 คือ 2x+9y-18=0 สมการของเส้นตรงที่ 3 คือ 3x+8y-24=0 สมการของเส้นตรงที่ 4 คือ 4x+7y-28=0 สมการของเส้นตรงที่ 5 คือ 5x+6y-30=0 สมการของเส้นตรงที่ 6 คือ 6x+5y-30=0 สมการของเส้นตรงที่ 7 คือ 7x+4y-28=0 สมการของเส้นตรงที่ 8 คือ 8x+3y-24=0 สมการของเส้นตรงที่ 9 คือ 9x+2y-18=0 สมการของเส้นตรงที่ 10 คือ 10x+y-10=0 ถ้ามองแล้วจะเห็นเป็นส่วนโค้งเกิดขึ้น (สงสัยว่าเกิดขึ้นได้อย่างไร) จึงได้ทดลองเปลี่ยนช่วงบนแกน x และ แกน y ไปเช่น เส้นตรงที่ 1 ผ่านพิกัด(20,0)และ(0,3) เส้นตรงที่ 2 ผ่านพิกัด(18,0)และ(0,6) เส้นตรงที่ 3 ผ่านพิกัด(16,0)และ(0,9) เส้นตรงที่ 4 ผ่านพิกัด(14,0)และ(0,12) เส้นตรงที่ 5 ผ่านพิกัด(12,0)และ(0,15) เส้นตรงที่ 6 ผ่านพิกัด(10,0)และ(0,18) เส้นตรงที่ 7 ผ่านพิกัด(8,0)และ(0,21) เส้นตรงที่ 8 ผ่านพิกัด(6,0)และ(0,24) เส้นตรงที่ 9 ผ่านพิกัด(4,0)และ(0,27) เส้นตรงที่ 10 ผ่านพิกัด(2,0)และ(0,30) จะได้ว่า สมการของเส้นตรงที่ 1 คือ 20x+3y-60=0 สมการของเส้นตรงที่ 2 คือ 18x+6y-108=0 สมการของเส้นตรงที่ 3 คือ 16x+9y-144=0 สมการของเส้นตรงที่ 4 คือ 14x+12y-168=0 สมการของเส้นตรงที่ 5 คือ 12x+15y-180=0 สมการของเส้นตรงที่ 6 คือ 10x+18y-180=0 สมการของเส้นตรงที่ 7 คือ 8x+21y-168=0 สมการของเส้นตรงที่ 8 คือ 6x+24y-144=0 สมการของเส้นตรงที่ 9 คือ 4x+27y-108=0 สมการของเส้นตรงที่ 10 คือ 2x+30y-60=0 ก็ได้ส่วนโค้งที่แตกต่างกัน เอมลองสังเกตหลายๆอย่างแล้ว สรุปความสัมพันธ์ออกมาได้ดังนี้ค่ะ 1.พบว่าเส้นตรงที่เกิดขึ้นมีความสัมพันธ์กันในตัวสมการเองนั้นคือ ถ้าให้ k แทนการแบ่งช่วงบนแกน x ให้ m แทนการแบ่งช่วงบนแกน y ให้ (0,p)แทนจุดตัดของส่วนโค้งที่เกิดขึ้นบนแกน y ให้ (q,0)แทนจุดตัดของส่วนโค้งที่เกิดขึ้นบนแกน x ให้ a,b และ c เป็นค่าคงตัว ให้ x,y เป็นตัวแปร เอมพบว่า ax+by+c = 0 (a*b)= -c ma + kb = pm ma + kb = qk ดังนั้น ma+kb = pm = qk * สรุปได้ตอนนี้(นั้น)ว่า * 1.ส่วนโค้งที่เกิดขึ้น ได้มาจากจุดตัดของเส้นตรงในที่มีความสัมพันธ์กัน (และสนใจเฉพาะในควอดรันต์ที่ 1) 2.จุดตัดของเส้นตรงที่ทำให้เกิดส่วนโค้งคือจุดตัดนอกสุด 3.ถ้าสร้าง Scale บนแกนให้ห่างขึ้น (เหมือนกับการ Zoom)เห็นได้ว่า แท้จริงแล้วจุดตัดเหล่านี้เป็นรูปหลายเหลี่ยม ที่มีขนาดของมุมเท่ากันทุกมุม ถ้า Zoom out ก็จะเห็นเป็นส่วนโค้ง เป็นวิธีการเดียวกันกับที่มองเห็นหน้า ปกหนังสือเล่มนั้นเป็นส่วนโค้งขึ้นได้ 4.จากการสังเกต พบว่าลักษณะของส่วนโค้งที่เกิดขึ้นนั้น ถูกกำหนดโดยจุด ตัดบนแกน x และ แกน y 5.อย่างไรก็ตามเอมคิดว่า สามารถทำให้เป็นส่วนโค้งที่แท้จริงได้ ถ้าใช้สมการ ที่เกิดจากจำนวนจริงทั้งหมด * ปัญหาคือ * 1.ถ้าต้องการหาส่วนโค้งที่แท้จริง จะหาสมการที่มีค่า A B และ C เป็นจำนวน จริงทั้งหมดได้อย่างไร [End Of Original Message] จากที่เอาไปดูต่อ แล้วลองอ่านเรื่อง Calculus (ที่พี่ไก่บอกว่าเกี่ยว) น่าสนใจมาก ปรากฏว่ามันเป็นปัญหาเดียวกับที่มาของ Calculus ที่เกิดจากปัญหาทางเรขาคณิตสองอย่าง คือ ปัญหาการหาเส้นสัมผัสส่วนโค้งและการหาพื้นที่ในแนวระนาบ กราฟที่เกิดขึ้น เอมพบว่าปัญหาเรื่อง RealNumber ที่เอมต้องการใส่ลงไปเพื่อทำให้ส่วนโค้ง Smooth แต่ไม่สามารถทำได้เพราะเป็นค่าอนันต์ น่าจะเกี่ยวข้องกับแนวคิดของนิวตันเรื่อง Limit อีกเรื่องหนึ่ง อ่านต่อไปในเรื่องอนุพันธ์ พบว่าการหาความชันของเส้นโค้งก็เกี่ยวข้องกับเส้นสัมผัสนั่นเอง และการเขียนกราฟของเอมนั่น มันเป็นเส้นสัมผัสส่วนโค้ง แล้วก็การทำให้เส้นสัมผัสส่วนโค้งกลายเป็นเส้นโค้ง มันก็คือการ Integrate นั่นเอง! -_-zZ อ่านต่อไป ก็พบว่า ขณะนี้ Proof ได้แล้วว่าไม่ใช่ส่วนหนึ่งของวงกลมค่ะ ซึ่งก็มีเหตุผลมาอ้างอิงสองอย่าง คือแบบง่ายๆ กับแบบยากๆที่อธิบายอย่างอื่นได้ต่อ เหตุผลข้อที่ 1 ตามที่พี่สุรัชน์แนะนำให้หาจุดศูนย์กลางวงกลม แล้วลากรัศมีดูว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างไรบ้างนั้น พิสูจน์แล้วด้วยวงเวียนว่ามันไม่ได้ค่ะ เหตุผลข้อที่ 2 คือ กราฟที่เกิดขึ้นเป็น สมการเชิงอนุพันธ์ ที่เรียกว่า Envelope (ซึ่งหมายถึง เส้นโค้งคงที่เส้นหนึ่ง ซึ่งสัมผัวกับชุดของเส้นโค้งชุดหนึ่ง) จากการลากเส้นดังที่ด้านบน นั่นคือ Envelope ของเส้นตรงที่มีสมการเป็น x/a + y/(c-a) = 1 หมายถึงว่า ถ้าเส้นตรงที่มีส่วนตัดแกน x เป็น c ได้สมการของชุดเส้นตรงเป็น x/a + y/(c-a) = 1 ........(1) หรือ kx - cy + cy = ck - c^2 หาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ c จะได้ -x + y = k - 2c หรือ c = (x - y + k)/2 แทนค่า c ใน (1) จะได้ x^2 - 2xy + y^2 - 2kx - 2ky + k^2 = 0 หรือ (x + y - k)^2 = 4xy หรือ X^1/2 - Y^1/2 = K^1/2 และ X^1/2 + Y^1/2 = K^1/2 ซึ่งเป็นกราฟของพาราโบลา เพราะ B^2 - 4AC = 0 และไม่สามารถแยก factor ที่มี Degree หนึ่งได้ ดังนั้น Envelope ที่ต้องการคือ หรือ X^1/2 - Y^1/2 = K^1/2 และ X^1/2 + Y^1/2 = K^1/2 ขณะนี้สามารถ Proof ได้ เฉพาะ การแบ่งช่วงบนแกน x และ แกน y ที่เท่ากัน ตอนนี้เอมกำลังหาทางใช้วิธีนี้กับกราฟที่เกิดจากการแบ่งช่วงไม่เท่ากันอยู่ค่ะ และเอมคิดว่าบางทีอาจมีวิธีประยุกต์ที่ไม่ต้องใช้ความรู้เรื่องนี้ หรือวิธีอื่นๆที่ทำให้ เราสามารถหาสมการส่วนโค้งในกรณีนี้ โดยการหาความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งที่เอมพิสูจน์ได้ (ma + kb = qk = pm) แล้วใช้หลักการเรื่อง Envelope เพื่อหาพาราโบาที่ได้ก่อน จากนั้นก็หาความสัมพันธ์ระหว่าง ma + kb = qk = pm กับ สมการพาราโบลา (หรือ)Conicsนั้นๆที่หาได้ เราก็จะได้สมการของเส้นโค้งนั้นทันที และบางทีอาจพบความสัมพันธ์อื่นๆที่ไม่ต้องพึ่งพาการหาอนุพันธ์ค่ะ อยากถามว่าเป็นไปได้บ้างมั้ย และ ใครมี Idea อื่นๆบ้าง Comment ได้นะคะ
__________________
Adapt |
#2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() ปัญหาที่ว่ามา แก้ด้วยการทำสเกลบนแกน x และ y ใหม่ ก็ใช้ได้แล้วครับ
สมมติเริ่มต้น เราพิจารณาเส้นโค้งที่เกิดจากเส้นตรง ที่มีระยะตัดแกน x และ แกน y มากสุดเป็น 1 โดยมีสเกลเท่ากัน เราพบแนว Locus เป็น ึx + ึy = 1 เมื่อเราเปลี่ยนสเกลในแกน x ให้มีระยะตัดแกน x มากสุดเป็น p และ ระยะตัดแกน y มากสุดเป็น q เราจะพบแนว Locus ใหม่เป็น ึx/p + ึy/q = 1 สำหรับวิธีแก้ปัญหาอีกวิธีหนึ่ง ที่ไม่ต้องใช้วิธีการหาอนุพันธ์ สมมติเรา ต้องการหา เส้นโค้งที่เกิดจากเส้นตรง ที่มีระยะตัดแกน x และ แกน y มากสุดเป็น p และ q ตามลำดับ โดยการมองแบบ Discrete แบบเดียวกับที่เราใช้เส้นตรงสร้างเส้นโค้งนี้ขึ้นมา แบ่งแกน x และแกน y ออกเป็น m ส่วนเท่าๆกัน แล้วเราลากเส้นตรงจาก ส่วนแรกบนแกน x ไปยังส่วนสุดท้าย(m)บนแกน y , ส่วนที่สองบนแกน x ไปยังส่วนที่ m-1 บนแกน y , ... ดังนั้นสำหรับ ส่วนที่ k บนแกน x ลากไปยังส่วนที่ m+1-k บนแกน y จึงได้แนว Locus ของเส้นโค้งดังกล่าวเกิดจากการตัดกันของ เส้นตรง 2 เส้นคือ
แก้สมการจะได้จุดตัดดังกล่าวเป็น
ดังนั้นเมื่อ mฎฅ เราจะได้แนว Locus ของเส้นโค้งดังกล่าวเป็น
เป็นสมการแบบ parametric ซึ่งเมื่อทำการจัดรูปใหม่จะได้สมการเส้นโค้งดังกล่าวเป็น ึx/p + ึy/q = 1
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 23 พฤษภาคม 2002 08:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#3
|
|||
|
|||
![]() ขอบคุณค่ะ ที่ตอบให้
แต่ยังสงสัยที่ว่า แทนค่า c ใน (1) จะได้ x^2 - 2xy + y^2 - 2kx - 2ky + k^2 = 0 หรือ (x + y - k)^2 = 4xy หรือ X^1/2 - Y^1/2 = K^1/2 และ X^1/2 + Y^1/2 = K^1/2 ซึ่งเป็นกราฟของพาราโบลา เพราะ B^2 - 4AC = 0 และไม่สามารถแยก factor ที่มี Degree หนึ่งได้ ดังนั้น Envelope ที่ต้องการคือ หรือ X^1/2 - Y^1/2 = K^1/2 และ X^1/2 + Y^1/2 = K^1/2 ลองนำมา Plot Graph แล้ว ถ้า Plot 1 สมการจะได้เพียงส่วนหนึ่งของพาราโบลาเท่านั้น แต่ถ้า Plot 2 สมการก้อจะได้เป็น Parabola เต้มๆ อยากเข้าใจว่า คำจำกัดความของ Parabola มีอะไรบ้าง และParabola ที่เกิดขึ้นจากการกระทำเช่นนี้นั้น มันไม่ได้หงาย หรือ คว่ำ หรือซ้าย หรือขวา แล้วทำไมมันถึงเกิดขึ้นได้ เป็นการเปลี่ยนแกนหรือป่าว เอม
__________________
Adapt |
#4
|
|||
|
|||
![]() แล้ว Parametric คืออะไรค่ะ
เอม
__________________
Adapt |
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
สุดปัญญาแล้วครับ Graph Theory | rigor | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 9 | 06 พฤศจิกายน 2010 21:27 |
spectrum of graph | rada | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 2 | 19 พฤศจิกายน 2006 14:53 |
โจทย์ Calculus | jabza | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 1 | 30 มิถุนายน 2006 08:18 |
รบกวนไขข้อข้องใจหน่อยครับ ~ graph theory | prachya | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 1 | 18 พฤษภาคม 2006 22:48 |
โจทย์graphครับ | A1 | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 2 | 09 สิงหาคม 2005 22:14 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|