![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
![]() ทบ.1 ให้ n เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น n เป็น Carmichael Numbers ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน สอดคลองกับเงื่อนไข สำหรับแต่ละตัวประกอบเฉพาะ p ของ n ซึ่งทำให้ (p-1) หาร (n-1) ลงตัว
ทบ.2 ไม่มี Carmichael Number ที่เป็นจำนวนคู่ ทบ.3 ทุกๆ Carmichael Number ต้องมีตัวประกอบอย่างน้อย 3 ตัว ปล. ใครสามารถพิสูจน์ได้ ขอความกรุณาด้วยนะคะ ช่วยพิสูจน์ด้วยนะคะ
__________________
!!น่ารัก^_^น่ารัก!! |
#2
|
||||
|
||||
![]() ก่อนอื่นจะพิสูจน์ว่า Carmichael numbers เป็นจำนวน squarefree นั่นคือไม่มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
สมมติว่ามีจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง p2|n เราสามารถเลือก a เป็น primitive root ของ p2 ได้ นั่นคือเราจะได้ว่า order ของ a mod n ต้องเป็น f(p2) = p(p-1) แต่จาก an-1 บ 1 (mod n) จะได้ว่า p(p-1)|n-1 ดังนั้น p|n-1 ขัดแย้งกับที่ p2|n ดังนั้นเราจึงได้ว่า Carmichael numbers เป็น squarefree ต่อไปจะพิสูจน์ (1) ให้ (a,n) = 1 ที่ n เป็น squarefree และทุกๆ p|n เรามี p-1|n-1 โดย p|n เราจะได้จากทฤษฎีบทของแฟร์มาว่า ap-1 บ 1(mod p) แต่ p-1|n-1 ดังนั้น an-1 บ 1(mod p) ทุกๆ ตัวประกอบเฉพาะ p ของ n แต่ n squarefree ดังนั้นโดยการรวมมอดูโลเข้าด้วยกันจะได้ an-1 บ 1(mod n) ทุกๆ (a,n)=1 ในทางกลับกัน ให้ n เป็น Carmichael number และ p|n เราเลือก a เป็น primitive root ของ p เพราะฉะนั้น an-1 บ 1(mod p) และ p-1|n-1 เนื่องจาก p-1 เป็น order ของ a mod p พิสูจน์ (2) สมมติว่า n Carmichael number ที่เป็นจำนวนคู่ ถ้า n มีจำนวนเฉพาะคี่เป็นตัวประกอบ จะได้จาก (1) ว่า p-1|n-1 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะว่า p-1 เป็นจำนวนคู่ แต่ n-1 เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น n ไม่มีตัวประกอบเฉพาะที่เป็นจำนวนคี่ แต่ n เป็น squarefree ดังนั้น n = 2 (นิยามส่วนใหญ่จะไม่ถือว่า 2 เป็น Carmichael number) พิสูจน์ (3) สมมติว่า n = pq ซึ่ง 1 < p < q เป็นจำนวนเฉพาะ เราทราบแล้วว่า q-1|n-1 ให้ n = d(q-1) + 1 = pq เมื่อ d > 1 (เพราะว่า p>1) พิจารณาสมการบน mod q จะได้ว่า d บ 1(mod q) ดังนั้นมี e ซึ่ง d =eq+1 และ e>1 (เพราะว่า d>1) ดังนั้น n = (eq+1)(q-1) + 1 = eq2-eq+q = (eq-e+1)q และจะได้ว่า p = eq-e+1 = e(q-1) + 1 > e(p-1) + 1 > (p-1) + 1 = p จาก q > p และ e > 1 ทำให้ได้ข้อขัดแย้ง ดังนั้น Carmichael numbers ไม่สามารถมีตัวประกอบเฉพาะแค่สองตัวได้ แต่จากความเป็น squarefree ด้วย จึงทำให้มันต้องมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 3 ตัว หมายเหตุ : 1. ถ้า 6k+1, 12k+1, 18k+1 เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดแล้วจะได้ว่า n=(6k+1)(12k+1)(18k+1) เป็น Carmichael number เนื่องจาก (6k+1)(12k+1)(18k+1) = 1296k3+396k2+36k+1บ1(mod 36k) และพิสูจน์ต่อไปได้ว่า n ดังกล่าวเป็น Carmichael number 2.มีการพิสูจน์แล้วว่ามี Carmichael number เป็นจำนวนอนันต์ โดยที่พิสูจน์ว่า C(n) > n2/7 สำหรับ n ที่มีค่ามากพอ |
#3
|
|||
|
|||
![]() ว้าว...สุดยอด แต่ขอเพิ่มเติมนิดนึงนะครับ
อ้างอิง:
|
#4
|
||||
|
||||
![]() อา...ใช่จริงๆ ด้วย...ลืมไปเลยว่า 2 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็เลยไม่เป็น Carmichael number...ขอบคุณๆ
|
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 19: 9-free numbers | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 33 | 01 พฤศจิกายน 2006 03:54 |
Numbers | Mastermander | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 11 | 23 ตุลาคม 2006 20:39 |
อยากทราบเกี่ยวกับ เรื่อง Euler Polynomails, Bernoulli numbers | วัน | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 0 | 07 กันยายน 2006 12:29 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 18: Numbers of the form m^n + n^m | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 10 | 03 พฤษภาคม 2006 20:08 |
Carmichael number | <warut> | ทฤษฎีจำนวน | 2 | 13 กรกฎาคม 2001 07:28 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|