ช่วยพิสูจน์ เกี่ยวกับ Topological Continuity

[kanji]

ช่วยพิสูจน์หน่อยนะครับ (พิสูจน์แบบ topology นะครับ)
Def: ให้ $(X,\tau_X)$ และ $(Y,\tau_Y)$ เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และ $f:X\rightarrow Y$
ดังนั้น เรากล่าวว่า $f$ ต่อเนื่อง ที่จุด $x_0 \in X$ หรือ $f$ มีความต่อเนื่องที่ $x_0$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกสับเซตเปิด $B$ ใน $Y$ ที่ซึ่ง $f(x_0)\in B$ จะมีสับเซตเปิด $A$ ของ $X$ และ $x_0\in A$ ที่ทำให้ $f(A)\subseteq B$

Thm: Suppose $f:X \rightarrow Y$ is surjective and satisfied with ${int} (f(A)) \subseteq f({int}(A))$, For every $A\subseteq X$. Then $f$ is continuous.

[passer-by]

ก่อนจะพิสูจน์ ขอทำอะไรบางอย่างก่อนครับ
(i) ขอ re-define นิยามฟังก์ชันต่อเนื่องนิดนึงแล้วกันนะครับ ผมอ่านแล้วรู้สึกเข้าใจยากจัง

Def: ให้ $(X,\tau_X)$ และ$(Y,\tau_Y) $ เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และ $f:X\rightarrow Y $

$f$ ต่อเนื่อง ที่ $x_0 \in X $ ก็ต่อเมื่อ ทุก open set $ O_B$ ที่บรรจุ $ f(x_0) $ จะมี open set $ O_A$ ที่บรรจุ $ x_0 $ ซึ่ง $ f(O_A) \subset O_B$

(ii) ขอเกริ่นนำไว้ก่อนว่า หลังจากนี้ ถ้าผมเขียน $ f^{-1}(M) $ หมายถึง inverse image of $M$

ต่อไปเข้าสู่การพิสูจน์ครับ

ให้ $x_0 \in X $ และ $ O_B$ เป็น open set ที่บรรจุ $ f(x_0) $ ดังนั้น$ f(x_0) \in O_B \Leftrightarrow x_0 \in f^{-1}(O_B) $

ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $ f^{-1}(O_B) $ เป็น open set ก็เรียบร้อย (ถ้า งง เดี๋ยวดูตอนสรุปสุดท้ายก็ได้ครับ)

By hypothesis ถ้าให้ $ A= f^{-1}(O_B) $ พบว่า $ int(f( f^{-1}(O_B))) \subset f(int f^{-1}(O_B)) \Rightarrow int(O_B) \subset f(int f^{-1}(O_B)) \Rightarrow O_B \subset f(int f^{-1}(O_B)) \cdots (*) $

เพราะ $ M \subset N $ implies $ f^{-1}(M) \subset f^{-1}(N) $
ดังนั้นจาก (*) $ f^{-1}(O_B) \subset int f^{-1}(O_B) $
แสดงว่า $ f^{-1}(O_B) $ เป็น open set (เพราะ ปกติ $ int M \subset M $ for any $M $ )

และหมายความว่า $f$ continuous เพราะสามารถหา $O_A = f^{-1}(O_B) $ ที่ทำให้ $ f(O_A) = f(f^{-1}(O_B)) = O_B $

[-Shi-No-Bu-]

ขอบคุณมากครับ...............คิดเองไม่ออกจริงๆ
ไม่รู้จะเริ่มจากตรงไหนครับ

[-Shi-No-Bu-]

ช่วยแสดงตรง f−1(f(int(f-1(OB))))=int(f-1(OB)) อีกครั้งได้มั้ยครับ ว่าทำไมถึงเท่ากัน
ขอบคุณคับ

[-Shi-No-Bu-]

ผมว่า int(f-1(OB)) น่าจะเป็นแค่สับเซตของ f-1(f(int(f-1(OB)))) มากกว่านะครับ

[passer-by]

$$ O_B \subset f(int f^{-1}(O_B)) \Rightarrow f^{-1}(O_B) \subset int f^{-1}(O_B) $$

บรรทัดข้างบนนี้ผิดจริงๆซะด้วยสิ เว้นเสียแต่ว่า จะเปลี่ยนโจทย์จาก f surjective เป็น bijective เพราะ proof ข้างบนของผม ต้องอ้างอิงทั้ง injective (บรรทัดที่มีปัญหา) & surjective (f^-1(f(A))=A)

แต่ถ้าคุณ -Shi-No-bu- ยืนยันในโจทย์เดิม ตอนนี้ ผมก็ยอมรับว่าไม่รู้จะแก้ครึ่งหลังของการพิสูจน์ยังไงเหมือนกันครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ kanji:
ช่วยพิสูจน์หน่อยนะครับ (พิสูจน์แบบ topology นะครับ)
Def: ให้ $(X,\tau_X)$ และ $(Y,\tau_Y)$ เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และ $f:X\rightarrow Y$
ดังนั้น เรากล่าวว่า $f$ ต่อเนื่อง ที่จุด $x_0 \in X$ หรือ $f$ มีความต่อเนื่องที่ $x_0$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกสับเซตเปิด $B$ ใน $Y$ ที่ซึ่ง $f(x_0)\in B$ จะมีสับเซตเปิด $A$ ของ $X$ และ $x_0\in A$ ที่ทำให้ $f(A)\subseteq B$

Thm: Suppose $f:X \rightarrow Y$ is surjective and satisfied with ${int} (f(A)) \subseteq f({int}(A))$, For every $A\subseteq X$. Then $f$ is continuous.

โจทย์ข้อนี้ไม่ใช่เล่นๆนะเนี่ย ต้องใช้ Axiom of Choice ในการพิสูจน์ซะด้วย หุหุ

การพิสูจน์ต่อไปนี้มีคนอื่นสอนผมมาอีกทีครับ

เริ่มจากการแสดงว่า $f$ ต่อเนื่องที่จุด $x_0\in X$

ให้ $V$ เป็น open set ใน $Y$ ที่มี $y_0 := f(x_0)$ เป็นสมาชิก

เราสามารถหา $U \subseteq X$ ที่มี $x_0 \in U$ และ $f(U)=V$ และ $f \mid U$ ($f$ ที่ถูก restricted domain ลงเหลือแค่ $U$) เป็น bijection ซึ่งอันนี้เราสามารถทำได้โดยที่ สำหรับแต่ละ $y\in V$ เลือก $x\in f^{-1}(y)$ มาตัวหนึ่งเพื่อสร้าง $U$ (ตรงนี้แหละครับที่ใช้ Axiom of Choice)

จากสมบัติที่โจทย์ให้มาเราจะได้ว่า $$ y_0 \in V = int(V) = int(f(U)) \subseteq f(int(U)) $$ จากที่ $ y_0 \in f(int(U))$ และ $int(U) \subseteq U$ และ $f$ เป็น bijection บน $U$ เราจึงได้ว่า $x_0 \in int(U)$

เนื่องจาก $int(U)$ เป็น open set ที่บรรจุ $x_0$ และ $f(int(U)) \subseteq f(U) = V$ ดังนั้น $f$ จึงต่อเนื่องที่จุด $x_0$

เนื่องจาก $x_0$ ที่เราเลือกมานั้น arbitrary ดังนั้น $f$ จึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องครับ

[warut]

เพิ่งได้ข้อมูลเพิ่มเติมมาว่า สามารถเลี่ยงไม่ต้องใช้ Axiom of Choice ได้ด้วยครับ โดยให้ $$ U= f^{-1} (V \setminus \{y_0\} ) \cup \{x_0\} $$