ขอแนวคิดโจทย์ข้อนี้ครับ

[กิตติ]

ไปไม่ถูกครับ ขอแนวคิดโจทย์ด้วยครับ

[lek2554]

ผมมองเป็นระยะทาง 4 เส้น ไปยังจุด (0,333) กับ จุด (0,444) แต่ 4 เส้น รวมกันน้อยสุด ยังไม่รู้ว่าจะคิดยังไงครับ

ไม่แน่ใจว่าทั้ง 4 จุด ต้องเป็นจุดเดียวกัน คือ (333,333) หรือ (444,444) หรือจุุดเดียวกันทุกจุดบนวงรีที่มีโฟกัสที่ (0,333) กับ (0,444) และผ่านจุด (333,333) หรือเปล่านะครับ

[lek2554]

ผมทดลองวิเคราะห์ร่วมกับ chat gpt ได้จุดใหม่ที่ผลรวมของระยะทางทั้ง 4 เส้นต่ำกว่าที่เคยคาดเดาเอาไว้ว่าเป็นจุดบนวงรี
จุด 4 จุดใหม่ที่ได้คือ
(m,n)=(188,192)
(n,p)=(192,188)
(p,q)=(188,192)
(q,m)=(192,188)

หาผลรวมของระยะทางได้ 1,110 หน่วย
แต่ยังไม่ทราบว่าเป็นผลรวมที่ต่ำสุดหรือยัง
และยังหาความสัมพันธ์ระหว่างจุด 4 จุดนี้กับจุด (0,333) และจุด (0,444) ไม่ได้ครับ

[gon]

ใช้อันนี้ครับ

$\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} + \sqrt{e^2+f^2} + \sqrt{g^2+h^2} \ge \sqrt{(a+c+e+f)^2+(b+d+f+h)^2}$

เป็นสมการเมื่อ $\frac{b}{a} = \frac{d}{c} = \frac{f}{e} = \frac{h}{f}$

ซึ่งการพิสูจน์ เริ่มจากกรณีมีจุด $(0, 0), (a, b), (a+c, b+d)$ บนระนาบเดียวกัน แล้วใช้อสมการสามเหลี่ยม จะได้ $\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} $

ซึ่งเป็นสมการเมื่อ จุดทั้งสามอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งคือความชันเท่ากัน $\frac{b}{a} = \frac{d}{c} $

แล้วก็ขยายเป็นมีจุด $(0, 0),(a+c, b+d), (a+c+e, b+d+f),(a+c+e+g, b+d+f+h)$

ที่ลองคิด

จัดรูปโจทย์ โดยการสลับหน้าหลังในบางพจน์ เพื่อให้รวมกันแล้วตัดกันได้พอดี

จะได้ โจทย์ $\ge \sqrt{888^2+666^2} = 10\times 111$

ซึ่งจะเกิดเมื่อ $m=p,q=n$ แล้วทำให้ได้ $3p+4n = 3\times 444$

เช่น p = 0, ได้ n = 333
หรือ p = 4 ได้ n=330 เป็นต้น.

ลองแทนค่าดูจะได้ $10\times 111$ เท่ากันหมด

[lek2554]

ขอบคุณ คุณกรครับ ที่ช่วยเปิดโลกทัศน์ความคิดให้กับผม
การพิสูจน์เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน ผมไม่ค่อยมีความรู้เลยครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ใช้อันนี้ครับ

$\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} + \sqrt{e^2+f^2} + \sqrt{g^2+h^2} \ge \sqrt{(a+c+e+f)^2+(b+d+f+h)^2}$

เป็นสมการเมื่อ $\frac{b}{a} = \frac{d}{c} = \frac{f}{e} = \frac{h}{f}$

ซึ่งการพิสูจน์ เริ่มจากกรณีมีจุด $(0, 0), (a, b), (a+c, b+d)$ บนระนาบเดียวกัน แล้วใช้อสมการสามเหลี่ยม จะได้ $\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} $

ซึ่งเป็นสมการเมื่อ จุดทั้งสามอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งคือความชันเท่ากัน $\frac{b}{a} = \frac{d}{c} $

แล้วก็ขยายเป็นมีจุด $(0, 0),(a+c, b+d), (a+c+e, b+d+f),(a+c+e+g, b+d+f+h)$

ที่ลองคิด

จัดรูปโจทย์ โดยการสลับหน้าหลังในบางพจน์ เพื่อให้รวมกันแล้วตัดกันได้พอดี

จะได้ โจทย์ $\ge \sqrt{888^2+666^2} = 10\times 111$

ซึ่งจะเกิดเมื่อ $m=p,q=n$ แล้วทำให้ได้ $3p+4n = 3\times 444$

เช่น p = 0, ได้ n = 333
หรือ p = 4 ได้ n=330 เป็นต้น.

ลองแทนค่าดูจะได้ $10\times 111$ เท่ากันหมด

เข้าใจว่าคุณ gon จะพิมพ์แบบนี้ครับ

$\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} + \sqrt{e^2+f^2} + \sqrt{g^2+h^2} \ge \sqrt{(a+c+e+g)^2+(b+d+f+h)^2}$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

เข้าใจว่าคุณ gon จะพิมพ์แบบนี้ครับ

$\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} + \sqrt{e^2+f^2} + \sqrt{g^2+h^2} \ge \sqrt{(a+c+e+g)^2+(b+d+f+h)^2}$

ประมาณนั้นเลยครับ

[กิตติ]

ขอขอบคุณท่านlek,คุณgon และท่านปรมาจารย์หยินหยาง
ผมคิดแบบสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสี่ชุดมาต่อกัน โดยเลือกการเรียงให้แต่ละด้านตัดตัวแปรให้หมด
แต่ผมไม่มีอะไรรองรับว่าที่คิดคือจุดต่ำสุด เลยขอความรู้จากเวปครับ
อ่านอสมการที่คุณgonเขียนพิสูจน์ให้และเงื่อนไขที่กำหนดแล้วเข้าใจเลยครับ
ขอบคุณมากครับที่สละเวลามาอธิบายให้ครับ

[กิตติ]

ผมลองไปถามในกลุ่มพูดคุยทุกเรื่องเกี่ยวกับคณิตศาสตร์
มีท่านหนึ่งเสนอการเขียนออกมาในรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและหาความยาวเส้นรอบสี่เหลี่ยมรูปเล็กที่สุดที่ใส่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้
และหาข้อพิสูจน์ได้ว่า ความยาวเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมที่บรรจุในสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้มีค่า $\geqslant $ 2เท่าของความยาวเส้นทแยงมุม ก็ได้คำตอบเท่ากันครับ

https://math.stackexchange.com/quest...849951#3849951