Inequality Marathon

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Di[s]-Stepz

$\sum_{cyc\ } มันคืออะไรหรอคับ $

มันคือการบวกแบบมีการวนของตัวแปรครับ
เช่น
$\sum_{cyc\ }ab=ab+bc+ca$
$\sum_{cyc\ }a^2b=a^2b+b^2c+c^2a$
$\sum_{cyc\ }(x^2+y^2)(y^2+z^2)=(x^2+y^2)(y^2+z^2)+(y^2+z^2)(z^2+x^2)+(z^2+x^2)(x^2+y^2)$

[catengland]

#151
$\sum_{cyc}^{}$ $ab=ab+bc+ca$
อยากถามว่าตัว c มาจากไหนอะครับ?

[Di[s]-Stepz]

หาอ่าน และโจทย์แบบง่ายๆ ได้ที่ ไหนหรอครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

บังเอิญเปิดผ่านมาเห็นกระทู้นี้ ดีมากเลยนะครับ
เสียดายที่ร้างมา 2 ปีแล้ว ผมขอต่อด้วยข้อนี้แล้วกันครับ
ผมลองแต่งเองดูยังไม่ค่อยมั่นใจเท่าไหร่ แต่ลองทำกันดูหน่อยนะครับ

ให้ $x,y,z\in \mathbb{R} $ โดยที่ $\sum_{cyc}(x^2+y^2)(y^2+z^2) =12$
จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{1}{3x^2+2x+1}+\frac{1}{3y^2+2y+1}+\frac{1}{3z^2+2z+1}+\frac{27}{4(x^2+y^2+z^2)+42} \geq 1$$

ไม่มีใครทำเลยหรอครับ

#152 แล้วแต่โจทย์จะกำหนดครับ ถ้ามี d ด้วยก็เป็น $ab+bc+cd+da$
#153 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=2439 เลยครับ

[Di[s]-Stepz]

ขอบคุณมากครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

บังเอิญเปิดผ่านมาเห็นกระทู้นี้ ดีมากเลยนะครับ
เสียดายที่ร้างมา 2 ปีแล้ว ผมขอต่อด้วยข้อนี้แล้วกันครับ
ผมลองแต่งเองดูยังไม่ค่อยมั่นใจเท่าไหร่ แต่ลองทำกันดูหน่อยนะครับ

ให้ $x,y,z\in \mathbb{R} $ โดยที่ $\sum_{cyc}(x^2+y^2)(y^2+z^2) =12$
จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{1}{3x^2+2x+1}+\frac{1}{3y^2+2y+1}+\frac{1}{3z^2+2z+1}+\frac{27}{4(x^2+y^2+z^2)+42} \geq 1$$

มีใครมีไอเดียอะไรดีๆก็โพสได้นะครับ

HINT Soln แบบของผม

พิสูจน์ว่า
$\frac{1}{3x^2+2x+1}+\frac{1}{3y^2+2y+1} \geq \frac{1}{x^2+y^2+1}$

คำเตือน : การอ่าน HINT นี้อาจทำให้เสียอรรถรสในการทำโจทย์ได้ เพราะจะ อ๋อเลยทันที