True - False Marathon

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

135.$\displaystyle{\int_0^1 x^x dx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^k}}$

จากที่นี่ทำให้ทราบว่าเป็นเท็จ

130. $\displaystyle{ \frac{{2^n }}{{2^n - 1}} \cdot \frac{{3^n }}{{3^n - 1}} \cdot \frac{{5^n }}{{5^n - 1}} \cdot \dots \cdot \frac{{p^n }}{{p^n - 1}} \dots }$

It converges to $\zeta(n)$

[Mastermander]

140.

$$0<\lim_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}<1$$

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

140.

$$0<\lim_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}<1$$

True...
Let $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=x}$
$\displaystyle{\ln x=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left ( \frac{n!}{n^n} \right )=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left ( \frac{k}{n} \right )= \int_0^1 \ln x dx=-1 \rightarrow x= \frac{1}{e} }$

141.$\displaystyle{\int_0^\infty\ln\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^\frac{\pi}{2}\left(\frac{\theta}{\sin\theta }\right)^2d\theta}$
142.$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+\sqrt{n}}=\frac{\pi}{e}}$
143.$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}$...ลู่เข้า

[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut

116. สมการ Diophantine: $x^5+y^7=z^9$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ อยู่จำกัด

้hint ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

143.$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}$...ลู่เข้า

เท็จครับ

เนื่องจาก $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\Big(1-\frac{1}{n+1}\Big)^{n+1}=\frac{1}{e}}$

เราจะได้ว่ามี $N$ ซึ่งทำให้

$\Big|\dfrac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}-\dfrac{1}{e}\Big|<\dfrac{1}{3}$ ทุกค่า $n\geq N$

ดังนั้น $\dfrac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}>\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}$ ทุกค่า $n\geq N$

เราจึงได้ว่า

$\dfrac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}>\Big(\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}\Big)\dfrac{1}{n}$ ทุกค่า $n\geq N$

อนุกรมจึงลู่ออกโดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบครับ

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut

116. สมการ Diophantine: $x^5+y^7=z^9$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ อยู่จำกัด

เท็จครับ...
เนื่องจากสมการ $x^2+y^2=z^3$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกไม่จำกัด (จาก hint ของคุณ warut)
ให้ $x=\alpha ^5,y=\beta ^7,z=\gamma ^3$ จะได้ $(\alpha ^2)^5+(\beta ^2)^7=\gamma ^9$
ฉะนั้น สมการ $x^5+y^7=z^9$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกอยู่ไม่จำกัด
โดยคำตอบรูปแบบหนึ่งคือ $(x,y,z)=(\alpha ^2,\beta ^2,\gamma)$ เมื่อ $\alpha ^5, \beta ^7, \gamma ^3$ สอดคล้องกับสมการ $x^2+y^2=z^3$
วิธีดูงงๆ + ไม่ค่อยสวยเท่าไหร่เลยแฮะ ผิดถูกยังไงช่วยกันดูหน่อยนะครับ เพราะผมก็งงเหมือนกัน

[Mastermander]

144.

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k}{k}=\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{\sin k}{k}\right)^2$$

[Timestopper_STG]

145.$\displaystyle{\int_0^{x}\frac{\sin t}{1+t}dt>0}$ for all real $x>0$

[Timestopper_STG]

146.$\displaystyle{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\in\mathbb{Q}}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

146.$\displaystyle{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\in\mathbb{Q}}$

จริงครับเพราะ $\displaystyle{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1}$

พิสูจน์

ให้ $\displaystyle{x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}}$
ดังนั้น $\displaystyle{x-\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=0}$
เราจึงได้
$\displaystyle{x^3-(2+\sqrt{5})-(2-\sqrt{5})=-3x}$

$x^3+3x-4=0$

$(x-1)(x^2+x+4)=0$

เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนจริงเราจะได้ $x=1$

[Anonymous314]

145.True ครับ
เพราะว่า $|\sin t|$ มีคาบคือ $\pi$ เราให้ $t=x+\pi$ โดยที่ $x \in [2k\pi ,(2k + 1)\pi ]$ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า $\int\limits_0^x {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$ คือการหาพ.ท.ใต้กราฟ ${{{\sin t} \over {1 + t}}}$
เพราะว่า $\left. {\left| {{{\sin x} \over {1 + x}}} \right.} \right| = \left. {\left| {{{\sin (x + \pi )} \over {1 + x}}} \right.} \right| \ge \left| {\left. {{{\sin (x + \pi )} \over {1 + x + \pi }}} \right|} \right.$
ดังนั้น $\int\limits_{2k\pi }^{(2k + 1)\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge -\int\limits_{(2k + 1)\pi }^s {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$...(1)
โดยที่ $s \in [(2k + 1)\pi ,(2k + 2)\pi ]$
เมื่อนำ (1) มารวมกันให้หมดได้ว่า $\int\limits_0^\pi {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge - \int\limits_\pi ^{2\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$
$\int\limits_{2\pi }^{3\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge - \int\limits_{3\pi }^{4\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$
ไปเรื่อย ๆ ถึง
$\int\limits_{2k\pi }^{(2k + 1)\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge - \int\limits_{(2k + 1)\pi }^s {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$
หรือ $\int\limits_{2k\pi }^{(2k + 1)\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge 0 $
ได้ว่า $\int\limits_0^x {{{\sin t} \over {1 + t}}dt} $ เมื่อ $x>0$

[owlpenguin]

ถนัดเพิ่มโจทย์มากกว่าทำโจทย์ครับ
147.$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^n\ln(\cos(\frac{1}{\sqrt{n}}))$ converges absolutely.
148.$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n+\ln(n!)}$ converges
ไม่ยากมากครับ

[นกกะเต็นปักหลัก]

149. $a^3b \equiv b^3a \pmod{3} for _{all }a,b\in \mathbb{N} $

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

149. $a^3b \equiv b^3a \pmod{3} for _{all }a,b\in \mathbb{N} $

จากโจทย์ $3 \mid ab(a-b)(a+b)$ ถ้า $a,b$ มีตัวใดตัวหนึ่งที่ 3 หารลงจะจริงทันที
สมมติว่าเศษของ a,b ที่ได้จากการหารด้วย 3 ต่างกัน ตัวนึงเป็น 1 อีกตัวเป็น 2 จับบวกกันเศษเป็น 3 ก็โดน 3 หารลง สรุปว่าข้อความโจทย์เป็นจริง

150.ถ้าสมการ $\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+...+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+...+\frac{n}{3^{a_n}}=1$ มีคำตอบสำหรับจำนวนเต็มไม่ติดลบ $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ แล้ว $n$ เป็นจำนวนเต็มคู่เท่านั้น