Trigonometric Marathon

[จูกัดเหลียง]

ข้อ A นี่ $-5$ ป่าวครับ
เเล้วก็ข้อ B นี่ $\dfrac{3}{2}$ ป่ะครับ

[Cachy-Schwarz]

ข้อ A ได้ -3 ปะคับ

[จูกัดเหลียง]

ผมได้เเบบนี้อ่ะครับ $\sqrt{9-8\sin 50^o}=4\sin 10^o-1$ น่ะครับ

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ผมได้เเบบนี้อ่ะครับ $\sqrt{9-8\sin 50^o}=4\sin 10^o-1$ น่ะครับ

ผมได้ $\sqrt{9-8\sin 50^o}=4\sin 10^o+1$ อะคับ

[จูกัดเหลียง]

อ้าวกรรม ผมผิดเองเเหละครับ 555

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

B. ถ้า $ \sin A + \sin B +\sin C = \cos A+\cos B+ \cos C = 0$
หาค่า $ \cos^2A+ \cos^2B+ \cos^2C$

$$ sin A + sin B +sin C=0$$
$$ sin A + sin B =-sinC$$
$$sin^2A+sin^2B+2sinAsinB=sin^2C$$
$$2-(cos^2A+cos^2B)+2sinAsinB=1-cos^2C$$
$$-1+(cos^2A+cos^2B)-2sinAsinB=cos^2C...[1]$$



$$ cos A + cosB +cosC=0$$
$$ \cos A + \cos B =-cosC$$
$$cos^2A+cos^2B+2cosAcosB=cos^2C...[2]$$

$[1]=[2];$

$$2cosAcosB=-1-2sinAsinB$$
$$cosAcosB+sinAsinB=-\frac{1}{2} $$
$$cos(A-B)=-\frac{1}{2} $$
$$cos \frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}$$

โจทย์

$cos^2A+cos^2B+cos^2C$

$=2[cos^2A+cos^2B]+2cosAcosB$

$=2[(cosA+cosB)^2-2cosAcosB]+2cosAcosB$

$=2[(2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2})^2-2cosAcosB]+2cosAcosB$

$=2cos^2\frac{A-B}{2}-2cosAcosB$

$=2cos^2\frac{A-B}{2}-cos(A+B)-cos\frac{2\pi}{3}$

$=1-cos\frac{2\pi}{3}=1.5$

[passer-by]

ข้อ A ตอบ -3

ข้อ B ตอบ 1.5 ครับ

Keyword ของข้อ A คือ derive $ \sqrt{9-8\sin 50^{\circ}} = 1+4\sin 10^{\circ}$ โดยแทน $\sin 50^{\circ} = \cos 20^{\circ} - \sin 10^{\circ}$ ใน square root แล้วใช้สูตร $\cos 2\theta$ ทำให้เกิดกำลังสองสมบูรณ์ใน root

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ขออีกครับ กำลังมันส์เลยๆๆๆ 5555

[passer-by]

ตามคำขอครับ (เอาแบบ Tricky questions ไปก่อนแล้วกัน)

C. ให้ $ \cos(A-B) + \cos (B-C) + \cos (C-A) = -1.5$
หาค่า $ \sin A+ \sin B +\sin C$

D. หาค่า x ในช่วง $ [0, 2\pi) $ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ $ 2\cos^2x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x +1 = 3(\sin x + \sqrt{3}\cos x)$

[Thgx0312555]

C. $0$
D. $\dfrac{2 \pi}{3}, \dfrac{5 \pi}{3}$

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

แปะให้อีก 2 ข้อ ก่อนสอบสมาคม วันพรุ่งนี้

A. Simplify $ \sqrt{9-8\sin 50^{\circ}} - 4(1+\cos 80^{\circ}) $

B. ถ้า $ \sin A + \sin B +\sin C = \cos A+\cos B+ \cos C = 0$
หาค่า $ \cos^2A+ \cos^2B+ \cos^2C$

มาเสนอให้ดูอีกวิธีนึง ย่นวิธีทำได้พอสมควร

$3=cos^2A+cos^2B+cos^2C+sin^2A+sin^2B+sin^2C$
หา $sin^2A+sin^2B+sin^2C$ จาก $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(cos2A+cos2B+cos2C)$

ให้ $z_{1}=cosA+isinA$ , $z_{2}=cosB+isinB$ , $z_{3}=cosC+isinC$
มันก็จะได้ $z_{1}^2+z_{2}^2+z_{3}^2=(z_{1}+z_{2}+z_{3})^2-2(z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1})$
แต่จาก $(z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1})=z_{1}z_{2}z_{3}(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}})=z_{1}z_{2}z_{3}(\overline{z _{1}+z_{2}+z_{3}})=0$
เทียบส่วนจริงจะได้ $cos2A+cos2B+cos2C=0$

อีกวิธีในการหา $cos(A-B)$ ให้ $u,v,w$ เป็นเวกเตอร์ขนาดเป็น 1 หน่วย แทน $(cosA,sinA),(cosB,sinB),(cosC,sinC)$ ตามลำดับ
จาก $|u+v|^2=|w|^2$ กระจายและใช้กฎของ cos จะได้ $u \cdot v=cos(A-B)=-\frac{1}{2}$

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ตามคำขอครับ (เอาแบบ Tricky questions ไปก่อนแล้วกัน)

C. ให้ $ \cos(A-B) + \cos (B-C) + \cos (C-A) = -1.5$
หาค่า $ \sin A+ \sin B +\sin C$

D. หาค่า x ในช่วง $ [0, 2\pi) $ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ $ 2\cos^2x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x +1 = 3(\sin x + \sqrt{3}\cos x)$

เฉลยน่าจะแบบนี้หรือเปล่าครับ

$x=cosA+isinA$ , $y=cosB+isinB$ , $z=cosC+isinC$
จากโจทย์ $Re(\frac{x}{y})+Re({\frac{y}{z}+})+Re({\frac{z}{x}})=-\frac{3}{2}$ แล้วก็ใช้ $Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}$
และใช้เอกลักษณ์ $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$
ซึ่งมันจะได้ $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=(x+y+z)(\overline{x+y+z})=0$
สุดท้าย $(cosA+cosB+cosC)^2+(sinA+sinB+sinC)^2=0$ ก็ตอบ 0