Sequences and Series Marathon

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

ขอลองเล่นลำดับบ้างแล้วกันนะครับ

39. จงพิจารณาว่าอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก

$$\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt[n]{2} -1)$$

เพราะว่า $\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^{2n}<4$ ทุกค่า $n\geq 1$

จะได้

$\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^{n}<2$

$\sqrt[n]{2} -1 > \dfrac{1}{2n}$

ดังนั้นอนุกรมลู่ออกโดย Comparison Test

[nooonuii]

40. จงหาผลบวกของ $\displaystyle \dfrac{1\cdot 2}{1!+2!}+\dfrac{2\cdot 3}{2!+3!}+\dfrac{3\cdot 4}{3!+4!}+\cdots$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

40. จงหาผลบวกของ $\displaystyle \dfrac{1\cdot 2}{1!+2!}+\dfrac{2\cdot 3}{2!+3!}+\dfrac{3\cdot 4}{3!+4!}+\cdots$

ได้ 2 รึเปล่าครับ?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ได้ 2 รึเปล่าครับ?

ขอวิธีคิดด้วยครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

$\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{n(n+1)}{n!+(n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{1}{(n-1)!}-\dfrac{1}{(n-1)!(n+2)}$

แต่จาก $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+...$

$x^2e^x=x^2+x^3+\dfrac{x^4}{2!}+...$

$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{(n-1)!(n+2)} = \int_{0}^{1}x^2e^x\,dx $

$\int_{0}^{1}x^2e^x\,dx = x^2e^x-2xe^x+2 |_{0}^{1}= e-2$

ดังนั้น $\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{1}{(n-1)!}-\dfrac{1}{(n-1)!(n+2)}=e-(e-2)=2$

[nooonuii]

ถูกแล้วครับ

แต่ไม่คิดว่าจะต้องใช้เครื่องมือหนักขนาดนี้

โจทย์ข้อนี้ผมคิดให้เด็กม.ปลายทำได้นะ

แต่อาจจะจัดรูปยากหน่อย

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

#156
เห็นโพสต์เก่าๆที่คุณ warut คุณ noonuii และคุณ passer-by เล่นกัน

เหมือนกับเอาหนัง fast and furious 7 เปรียบกับ teletubbies ครับ

เชิญคุณ noonuii หรือ ท่านอื่นๆ ตั้งต่อเลยครับ ผมแค่อยากเข้ามาอัพเวล

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

40. จงหาผลบวกของ $\displaystyle \dfrac{1\cdot 2}{1!+2!}+\dfrac{2\cdot 3}{2!+3!}+\dfrac{3\cdot 4}{3!+4!}+\cdots$

เฉลยที่ผมคิดไว้ก็แล้วกันครับ

$\dfrac{n(n+1)}{n!+(n+1)!}=\dfrac{1}{(n-1)!}+\dfrac{2}{(n+1)!}-\dfrac{1}{n!}-\dfrac{2}{(n+2)!}$

[nooonuii]

41. จงหาผลบวกของ $\dfrac{3^2}{1!+2!}+\dfrac{4^2}{2!+3!}+\dfrac{5^2}{3!+4!}+\cdots$

[จูกัดเหลียง]

$3e-2$ ใช่มั้ยครับ

[Pitchayut]

ใช่ครับตอบ $3e-2$ ครับ

[Pitchayut]

ขอมาเสนอโจทย์ให้ลองทำดูเล่นๆ คราวนี้ขอเล่นลำดับสัมประสิทธิ์ทวินามบ้างก็แล้วกัน

41.1. จงหาค่าของ $\displaystyle{\sum_{k=0}^{r}\dfrac{1}{4^k}\binom{2k}{k}\binom{n+r-k}{n}}$

Edit : แก้โจทย์