SMO 2015

[math ninja]

ขาดข้อสอง และข้อเจ็ด

[กขฃคฅฆง]

ข้อ 4 ให้ n=1 ก็ได้เป็นเป็นอนันต์เลยไม่ใช่เหรอครับ หรือมีเงื่อนไขเพิ่ม

ปล.อ่านข้อ1ไม่ออกครับ

[computer]

ข้อสอบวันที่ 1

$1.$ กำหนดลำดับ ${a_n}$ โดยที่ $a_1=1,\, a_{2n} = a_{2n-1} + a_n, \,a_{2n+1} = a_{2n} \,\,(n = 1,2,...)$ จงพิสูจน์ว่า $a_{2^n} < 2^{\frac{n^2}{4}}$

$2.$ -

$3.$ เป็นไปได้หรือไม่ที่เราจะนำจำนวนเต็มตั้งแต่ $1$ ถึง $2015$ มาเรียงกันเป็นวงกลม (ต้องใช้ทั้ง $2015$ จำนวนและแต่ละจำนวนใช้ได้เพียงครั้งเดียว) โดยที่ผลบวกของสองจำนวนใดๆซึ่งอยู่ติดกันจะต้องเป็นพหุคูณของ $4$ หรือ $7$ จงแสดงการพิสูจน์

$4.$ กำหนดเซต $P_n=\left\{n^k | k = 0,1,2,…\,\right\}$ จงหาจำนวนสามสิ่งอันดับ $(a,b,c)$ ทั้งหมด ที่ทำให้ทั้ง $a-1, ab-12, abc-2015$ เป็นสมาชิกของเซต $P_n$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ โดยที่ $a,b,c \in \mathbb{N}$ $(a-1, ab-12, abc-2015$ อาจเกิดค่าซ้ำได้$)$


ข้อสอบวันที่ 2

$5.$ กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = ax+b$ โดยที่ $a,b \in \mathbb{R} $ ถ้า $|f(x)| \leq 1$ สำหรับทุก $x \in [0,1]$ แล้วจงหาค่าของ $S = (a+1)(b+1)$

$6.$ กำหนด $\triangle ABC$ ให้ $a, b, c$ แทนความยาวด้าน $BC, CA, AB$ ตามลำดับ $P, Q$ เป็นจุดบนด้านสองด้านของ $\triangle ABC$ จงหาความยาว $PQ$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งเมื่อลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด $P$ และ $Q$ แล้วจะแบ่งพื้นที่ $\triangle ABC$ ออกเป็นสองส่วนที่เท่ากัน โดยที่ $c < b < a < 2c$

$7.$ –

$8.$ กำหนดเซต $A(m,n) =\left\{x^2+mx+n | x \in \mathbb{I}\,\right\}$ จะมีจำนวนเต็ม $a, b, c$ ที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็นสมาชิกของเซต $A(m,n)$ และสอดคล้องสมการ $a =bc$ หรือไม่ ถ้า $m, n$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ จงแสดงการพิสูจน์