|
|
#1
13 สิงหาคม 2016, 15:54
|
||||
|
||||
โจทย์อสมการครับ
ให้ x,y,z>0 และ xyz = 1 จงพิสูจน์ว่า
ถ้า $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} \geqslant x+y+z$ แล้ว $\frac{1}{x^8} +\frac{1}{y^8} +\frac{1}{z^8}\geqslant x^8+y^8+z^8$
__________________
Numbers rule the Universe. 
|
|
#3
13 สิงหาคม 2016, 17:39
|
||||
|
||||
|
1. สิ่งที่โจทย์ต้องการสมมูลกับอสมการ
$$(x-1)(y-1)(z-1)\geq 0 \iff(x^8-1)(y^8-1)(z^8-1)\geq 0$$ 2. $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} = \sum_{cyc} \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$$
__________________
I'm Back
|
|
#4
13 สิงหาคม 2016, 18:35
|
|||
|
|||
|
ทำแบบนี้ได้ไหม ช่วยตรวจสอบความถูกต้องให้ด้วยนะคะ
 อ้างอิง:
$ \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} + 2(\frac{1}{xy} +\frac{1}{yz} +\frac{1}{zx}) \geq x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$ $ \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} + 2(x+y+z) \geq x^2+y^2+z^2 + 2(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z})$ $ \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} \geq x^2+y^2+z^2$ ทำในทำนองเดียวกัน จะได้ $ \frac{1}{x^8} +\frac{1}{y^8} +\frac{1}{z^8}\geq x^8+y^8+z^8$
|
|
#5
13 สิงหาคม 2016, 18:59
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
โดยอสมการ Cauchy Schwarz, $$ (\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}) (\sum_{cyc} a(a^2+ab+b^2) \geq (\sum_{cyc}{(a^2})^2 $$ $$ \Leftrightarrow (\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}) (a+b+c)(a^2+b^2 + c^2) \geq (\sum_{cyc}{(a^2})^2 $$ $$ \displaystyle\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac {\displaystyle\sum_{cyc}{a^2}}{\displaystyle\sum_{cyc}a}\;\;\;[1]$$ โดยอสมการ Cauchy Schwarz, $$ (\sum_{cyc}{a^2})(\sum_{cyc}1) \geq (\sum_{cyc}a)^2 $$ $$ \frac{\displaystyle\sum_{cyc}{a^2}}{\displaystyle\sum_{cyc}a}\geq \frac {\displaystyle\sum_{cyc}{a}}{3}\;\;\;[2]$$ จาก [1], [2], จะได้ $$ \sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac {\displaystyle\sum_{cyc}a}{3}$$
|
  |
| เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|
