Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 07 ตุลาคม 2016, 22:10
i^i i^i ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 มีนาคม 2014
ข้อความ: 230
i^i is on a distinguished road
Default จำนวนอตรรกยะ

ทุกจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการ x^3+x+3=0 เป็นจำนวนอตรรกยะ

ปล. ขอเเนวทางการพิสูจน์เเบบข้อขัดเเย้งหน่อยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 07 ตุลาคม 2016, 22:58
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ใช้ทฤษฎีบทรากตรรกยะ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 07 ตุลาคม 2016, 23:12
i^i i^i ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 มีนาคม 2014
ข้อความ: 230
i^i is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
ใช้ทฤษฎีบทรากตรรกยะ
ขอบคุณครับ คือผมสมมติให้สมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ
ให้ x=m/n เป็นคำตอบของสมการ
พอเเทนลงไปเเล้วยังหาทางไปต่อไม่ถูกครับ ><
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 08 ตุลาคม 2016, 12:57
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ i^i View Post
ทุกจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการ x^3+x+3=0 เป็นจำนวนอตรรกยะ

ปล. ขอเเนวทางการพิสูจน์เเบบข้อขัดเเย้งหน่อยครับ
เป็นคำถามที่ดีครับดูเรียบง่าย แต่ตรงประเด็น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 08 ตุลาคม 2016, 19:20
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

จำนวนตรรกยะที่จะเป็นรากของสมการนี้มี 4 รู้เท่านั้น อะไรบ้าง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 08 ตุลาคม 2016, 22:19
i^i i^i ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 มีนาคม 2014
ข้อความ: 230
i^i is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
จำนวนตรรกยะที่จะเป็นรากของสมการนี้มี 4 รู้เท่านั้น อะไรบ้าง
เนื่องจากตัวประกอบของ 3 ได้เเก่ +-1,+-3
เเต่เอาไปแทนในสมการเเล้วเป็นเท็จครับผม
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 09 ตุลาคม 2016, 21:31
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default

ลองแลกเปลี่ยนแนวคิดกันดูนะครับ.............
วิธีพิสูจน์แบบข้อขัดแย้ง
$$x^{3}+x+3=0$$
จากสมการข้างบนเรารู้ว่ารากของสมการเป็นจำนวนจริงแค่ 1 ค่า อีก 2 ค่าติดอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพอยู่
วิธีหาค่ารากก็ใช้วิธีทาง Nummerical method เพราะกราฟของ $y=x^{3}+x+3$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มตลอดค่า $x$
เช่นแทน $x=-2 ได้ y=-7 และ แทน x=-1 ได้ y=1$ แสดงว่า รากของสมการ $x^{3}+x+3=0$ อยู่ระหว่าง -2 และ -1 คือรากเป็นค่าลบ
$$ให้ x=-\frac{m}{n} โดยที่ m,n\in I^{+} และ (m,n)=1,x^{3}+x+3=0$$
ถ้าเราสามารถพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก m,n ที่มีคุณสมบัติตามที่ว่านี้ได้ แสดงว่า รากเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ถ้าเกิดข้อขัดแย้ง ก็แสดงว่าหาm,n ไม่ได้ รากของสมการก็ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ
.....แทน ค่า $x=-\frac{m}{n}$ ลงในสมการ $x^{3}+x+3=0$ จัดรูป จะได้
$$ 3n^{3}=m^{3}+n^{2}m....................(1)$$
แสดงว่า $3\mid (m^{3}+n^{2}m)$ คราวนี้ก็ใช้ทฤษฎีจำนวนผมสรุปได้ว่า $3\mid m เพราะ 3\nmid (n^{2}+1)$
....ให้ $m=3p,p\in I^{+}$ แทนลงไปในสมการ (1) จัดรูปอีกเหมือนเดิม จะได้
$$n^{3}=9p^{3}+pn^{2}.......................(2)$$
จากสมการ(2) ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะเกิดข้อขัดแย้งทันที แสดงว่า $2\mid n $ และส่งผลให้ $2\mid p$
จากข้อสรุป $2\mid n และ2\mid p$ ทำให้ $(p,n)\not= 1$ ซึ่งก็คือ $(m,n)\not= 1$ เกิดข้อขัดแย้งไม่สามารถหาค่า $m,n \in I^{+}และ (m,n)=1 ได้$ สรุปว่ารากของสมการ$x^{3}+x+3=0$ที่เป็นจำนวนจริงเป็นจำนวนอตรรกยะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 11 ตุลาคม 2016, 04:54
i^i i^i ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 มีนาคม 2014
ข้อความ: 230
i^i is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm View Post
ลองแลกเปลี่ยนแนวคิดกันดูนะครับ.............
วิธีพิสูจน์แบบข้อขัดแย้ง
$$x^{3}+x+3=0$$
จากสมการข้างบนเรารู้ว่ารากของสมการเป็นจำนวนจริงแค่ 1 ค่า อีก 2 ค่าติดอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพอยู่
วิธีหาค่ารากก็ใช้วิธีทาง Nummerical method เพราะกราฟของ $y=x^{3}+x+3$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มตลอดค่า $x$
เช่นแทน $x=-2 ได้ y=-7 และ แทน x=-1 ได้ y=1$ แสดงว่า รากของสมการ $x^{3}+x+3=0$ อยู่ระหว่าง -2 และ -1 คือรากเป็นค่าลบ
$$ให้ x=-\frac{m}{n} โดยที่ m,n\in I^{+} และ (m,n)=1,x^{3}+x+3=0$$
ถ้าเราสามารถพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก m,n ที่มีคุณสมบัติตามที่ว่านี้ได้ แสดงว่า รากเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ถ้าเกิดข้อขัดแย้ง ก็แสดงว่าหาm,n ไม่ได้ รากของสมการก็ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ
.....แทน ค่า $x=-\frac{m}{n}$ ลงในสมการ $x^{3}+x+3=0$ จัดรูป จะได้
$$ 3n^{3}=m^{3}+n^{2}m....................(1)$$
แสดงว่า $3\mid (m^{3}+n^{2}m)$ คราวนี้ก็ใช้ทฤษฎีจำนวนผมสรุปได้ว่า $3\mid m เพราะ 3\nmid (n^{2}+1)$
....ให้ $m=3p,p\in I^{+}$ แทนลงไปในสมการ (1) จัดรูปอีกเหมือนเดิม จะได้
$$n^{3}=9p^{3}+pn^{2}.......................(2)$$
จากสมการ(2) ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะเกิดข้อขัดแย้งทันที แสดงว่า $2\mid n $ และส่งผลให้ $2\mid p$
จากข้อสรุป $2\mid n และ2\mid p$ ทำให้ $(p,n)\not= 1$ ซึ่งก็คือ $(m,n)\not= 1$ เกิดข้อขัดแย้งไม่สามารถหาค่า $m,n \in I^{+}และ (m,n)=1 ได้$ สรุปว่ารากของสมการ$x^{3}+x+3=0$ที่เป็นจำนวนจริงเป็นจำนวนอตรรกยะ

ขอบคุณครับผม ^^
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:43


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha