ช่วยอสมการข้อนี้หน่อยครับ

[NaPrai]

ให้ $a, b, c$ เป็นจำนวนบวก แล้วจงพิสูจน์ว่า $\frac{a^3}{(a+b)^3} + \frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geqslant \frac{3}{8} $

[MathBlood's]

โดยไม่เสียสาระสำคัญ ไห้ $a\geqslant b\geqslant c ได้เป็น 2a\geqslant a+b \rightarrow 8a^3\geqslant (a+b)^3 \rightarrow a^3/{(a+b)}^3\geqslant 1/8 $

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathBlood's

โดยไม่เสียสาระสำคัญ ไห้ $a\geqslant b\geqslant c ได้เป็น 2a\geqslant a+b \rightarrow 8a^3\geqslant (a+b)^3 \rightarrow a^3/{(a+b)}^3\geqslant 1/8 $

สำหรับ $f(a,b,c)=(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3$

$f$ มันไม่ sym นิครับ มันสมมติให้เรียง 3 ค่าทีเดียวไม่ได้ แบบ $a \geq b \geq c$ แบบนี้ไม่ได้

อย่าง $f(a,b,c)$ มีค่าไม่เท่ากับ $f(b,a,c)$ จะสมมติแบบ sym ได้ value ของ function

มันต้องเท่ากันทุก $f(a,b,c),f(b,a,c),...$ ทุกๆการเรียงสับเปลี่ยนของ $(a,b,c)$ สิครับ

ซึ่ง มีได้ $3!$ จริงมั้ย...?

[nooonuii]

ใช้ power mean แล้วพิสูจน์อันนี้แทน

$$
\frac{a^2}{(a+b)^2} + \frac{b^2}{(b+c)^2} + \frac{c^2}{(c+a)^2} \geqslant \frac{3}{4}
$$

[MathBlood's]

ดูเร็วไปครับ ลืม แหะๆ

[MathBlood's]

AM-GM ครับ $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}{\geqslant 1/8} $ และก็จากAM-GM อีก ก็ได้เท่ากับก้อนนั่นครับ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathBlood's

AM-GM ครับ $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}{\geqslant 1/8} $ และก็จากAM-GM อีก ก็ได้เท่ากับก้อนนั่นครับ

ยังไงนะ...?

ที่พิมพ์มามันกลับข้างนิครับ

------------------------------------------------------------

ปล.ขอบคุณคุณ nooonuii ครับ ไอเดียเรียบง่ายและสวยมากเลย

ผมคิดไปไกลถึงเอกลักษณ์แปลกๆ sos เทือกๆนั้น กลายเป็นถึกไปเลย

[MathBlood's]

ไม่กลับ นิครับ?

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathBlood's

AM-GM ครับ $\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}{\geqslant 1/8} $ และก็จากAM-GM อีก ก็ได้เท่ากับก้อนนั่นครับ

ดูดีๆสิ ใจเย็นๆ

$\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{1}{8}$

คูณไขว้

$8abc \geq (a+b)(b+c)(c+a)$

...กลับนะ...

ปล.โจทย์ข้อนี้ไม่ง่ายนะครับ ดูดีๆ

[MathBlood's]

$a^3/{(a+c)}^3+b^3/{(b+c)}^3+c^3/{(c+a)}^3\geqslant 3abc/(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 3/8 $ ไม่ได้หรอครับ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathBlood's

$a^3/{(a+c)}^3+b^3/{(b+c)}^3+c^3/{(c+a)}^3\geqslant 3abc/(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 3/8 $ ไม่ได้หรอครับ

พิมพ์เศษส่วนพิมพ์แบบนี้ครับ \frac{}{} ปีกกาแรกเป็นเศษ ปีกกาหลังเป็นส่วน

สำหรับเครื่องหมายอสมการ ถ้าขี้เกียจพิมพ์คำว่า \geqslant พิมพ์แค่ \geq ก็พอครับ

ส่วนที่ถามมา ลองดูดีๆสิครับ

$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(c+a)^3} \geq \frac{3abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{3}{8}$

อสมการคู่ขวาสุดอะครับ มันกลับข้าง เพราะมันได้เป็น $8abc \geq (a+b)(b+c)(c+a)$

ซึ่งจริงๆแล้ว $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ ถึงจะถูกครับ

ถ้าทำไปทำมาแบบนี้แล้วได้อสมการกลับข้าง ถือว่าผลลัพธ์ที่เราได้มามันหลุดขอบของอสมการ

เรียกกันสั้นๆว่า Bound เกินนั่นแหละครับ หมายความว่า เราบีบอสมการได้ไม่ sharp พอ

ไม่ดีพอนั่นเอง คล้ายๆกับว่า โจทย์ให้พิสูจน์ $5 \geq 4$ แล้วทำไปทำมาได้ $5 > 3$

จากนั้นไปสรุปว่า $3 \geq 4$ ซึ่งกลับด้าน หมายความว่า 3 หรือค่า Bound 3 ที่ได้มา

มีความ sharp ไม่สู้อสมการที่โจทย์อยากได้คือ $5 \geq 4$ แต่ถ้าหากทำดี หรือ sharp พอ

ได้เป็น $5 > 4.5$ แล้วสรุปว่า $ 4.5 \geq 3$ แบบนี้ถึงจะถูกครับ ก็เลยได้ $5 > 4.5 \geq 3$ ด้วย

มันเป็นเรื่องของความ sharp ของอสมการครับ ตรงนี้ต้องระวัง

[MathBlood's]

ขอบคุณมากๆๆครับ ผมยังไม่ค่อยเก่งเท่าใหร่ สงสัยทำเร็วไป ไช่กลับข้างจริงๆด้วย