Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 24 มีนาคม 2017, 22:15
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default อสมการ

1). ให้ $ a,b,c>0 $ และ $a^2+b^2+c^2=1$ จงแสดงว่า
$ (\frac{1}{a^3(b+c)^5}+\frac{1}{b^3(c+a)^5}+\frac{1}{c^3(a+b)^5})^{\frac{1}{5}}\geqslant \frac{3}{2} $

2). $x,y,z>0$ จงแสดงว่า
$ \sqrt{\frac{x}{x+y}} + \sqrt{\frac{y}{y+z}} + \sqrt{\frac{z}{z+x}} \leqslant \frac{3}{\sqrt{2}} $
__________________
MD:CU
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 25 มีนาคม 2017, 11:17
Devilbat's Avatar
Devilbat Devilbat ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 มีนาคม 2017
ข้อความ: 3
Devilbat is on a distinguished road
Default

For 1) According to Holder inequality, we obtain
$(\sum_{cyc}\frac{1}{a^3(b+c)^5})(\sum_{cyc}a^2)^4\ge(\sum_{cyc}\frac{a}{b+c})^5$
__________________
It's settled. It's my win
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 25 มีนาคม 2017, 11:35
Devilbat's Avatar
Devilbat Devilbat ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 มีนาคม 2017
ข้อความ: 3
Devilbat is on a distinguished road
Default

For 2) solution by Mikhail. Applying Cauchy-Schwarz inequality
$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{x}{x+y}}\le\sqrt{(\sum_{cyc}x+z)(\sum_{cyc}\frac{x}{(x+y)(x+z)})}$
It suffices to show that
$\sum_{cyc}\frac{x}{(x+y)(x+z)}\le\frac{9}{4(x+y+z)}$
You can expand to prove the last inequality.
__________________
It's settled. It's my win

25 มีนาคม 2017 11:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Devilbat
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:27


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha