Functional Equation

[จูกัดเหลียง]

From Hongkong TST 2018

Find the function that $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ such that
$$f(f(xy-x))+f(x+y)=yf(x)+f(y)$$

[otakung]

ไม่แน่ใจว่าตกหล่นอะไรไปรึเปล่านะครับ ไม่ค่อยคล่องเรื่องนี้ แนะนำได้เลยครับ

แทนค่า $x=y=0$ ได้ $f(f(0))+f(0)=f(0)$
ดังนั้น $f(f(0))=0$

แทนค่า $x=0$ ได้ $f(f(0))+f(y)=yf(0)+f(y)$
$yf(0)=0$
ดังนั้น $f(0)=0$

แทนค่า $y=0$ ได้ $f(f(-x))+f(x)=f(0)=0$
ดังนั้น $f(f(-x))=-f(x) ------------------ (1)$

จาก $(1)$ ได้ว่า $f(f(xy-x))=-f(x-xy)$
ดังนั้นจากโจทย์ จะได้ $-f(x-xy)+f(x+y)=yf(x)+f(y) ------------------ (2)$

แทน $x=-1$ ใน $(2)$ ได้ $-f(y-1)+f(y-1)=yf(-1)+f(y)$
ดังนั้น $f(y)=y(-f(-1))$

ให้ $-f(-1)=k$ จะได้ $f(y)=ky$

แทนค่าในโจทย์ได้ $f(f(xy-x))=f(k(xy-x))=k^2(xy-x)$
$k^2(xy-x)+k(x+y)=y(kx)+ky$

ดังนั้น $k=0$ หรือ $k(xy-x)+x+y=xy+y => k=1$

ดังนั้น function ที่ต้องการคือ $f(x)=0$ หรือ $f(x)=x$

[จูกัดเหลียง]

เยี่ยมครับ วิธีเกือบจะเหมือนกันเลยครับๆ

[otakung]

ขอบคุณครับ

[tngngoapm]

เราจะมีหลักการพิสูจน์ไหมครับว่าฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติข้างต้นไม่สามารถเป็นฟังก์ชันอื่นนอกจากฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น

[จูกัดเหลียง]

Find all function satisfy the following condition,
$f:\mathbf{R^+} \rightarrow \mathbf{R^+}$ $$f(x+y)=2f(x)-x+f(f(y))$$
$i)$ $f(cx)=cf(x),$ for any $c\in\mathbb{R^+}$
$ii)$ $f(1)=1$
for any $x,y\in\mathbb{R^+}$

[otakung]

แบบนี้ได้มั้ยครับ มันสั้นแปลก ๆ

แทน $x=y$ ได้ $f(2x)=2f(x)-x+f(f(x))$
แต่ $f(2x)=2f(x)$

ดังนั้น $f(f(x))=x$

แทน $x=1$ ได้ $f(y+1)=f(f(y))+1=y+1$

ดังนั้นมีคำตอบเดียวคือ $f(x)=x$

[จูกัดเหลียง]

มันไม่ได้ยากมากครับ เเต่ที่คุณ otakung สรุปเราาจะได้เเค่ว่า $f(x)=x$ ทุก $x>1$ ครับ


จริงๆก็จะเสร็จอยู่เเล้วครับ

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

มันไม่ได้ยากมากครับ เเต่ที่คุณ otakung สรุปเราาจะได้เเค่ว่า $f(x)=x$ ทุก $x>1$ ครับ


จริงๆก็จะเสร็จอยู่เเล้วครับ

อ๋อ ๆๆ เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ เดี๋ยวลองคิดต่ออีกหน่อย

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ otakung

แบบนี้ได้มั้ยครับ มันสั้นแปลก ๆ

แทน $x=y$ ได้ $f(2x)=2f(x)-x+f(f(x))$
แต่ $f(2x)=2f(x)$

ดังนั้น $f(f(x))=x$

แทน $x=1$ ได้ $f(y+1)=f(f(y))+1=y+1$

ดังนั้นมีคำตอบเดียวคือ $f(x)=x$

ตอนแรกผมคิดแบบที่พิมพ์ไปแต่มีต่อด้วยแบบนี้

จากสมการล่าสุดได้ว่า $f(x+1)=x+1$

แทน $y=1$ ได้ $f(x+1)=2f(x)-x+1$

ดังนั้น $x+1=2f(x)-x+1$

$f(x)=x$

แบบนีี้ (คิดว่า) น่าจะโอเคแล้ว

ตอนตอบครั้งแรกผมตัดช่วงหลังทิ้งไปเพราะดูอีกทีเห็น $f(y+1)=y+1$ ก็น่าจะสรุปได้เลยว่า $f(x)=x$ ก็เลยตัดจบตรงนั้นเลย พอคุณจูกัดเหลียงบอกก็เลยอ๋อว่ามันตัดไม่ได้นี่นา

[จูกัดเหลียง]

Let $f:R\rightarrow R$ prove that $f(x)=f(-x)$ ,where $$f(3x+y)+f(3x-y)=f(x+y)+f(x-y)+16f(x)$$

for any real $x,y$