พีชคณิต ครับ

[Supermath]

ให้ $a,b,c>0 , \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c} $ จงเเสดงว่า มุม $C=60 $ $^{\circ}$

[NaPrai]

เอ โจทย์ผิดหรือเปล่าครับ เพราะว่าถ้าเป็นแบบนี้ มีตัวอย่างค้านคือ $(a,b,c)=(2,\sqrt{3},1)$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Supermath

ให้ $a,b,c>0 , \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c} $ จงเเสดงว่า $a=b=c$

กำลังจะตอบพอดีเหมือนกันเลยครับ

โจทย์น่าจะผิดนะครับ

เช่น $(a, b, c) = (1, 2, \frac{1+\sqrt{13}}{2})$ ก็ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริง

[Supermath]

คือโจทย์จริงๆบอกว่า a,b,c เป็นความยาวด้านสามเหลี่ยมให้หา sin C ครับ

[Supermath]

โทษทีครับ เฉลยคือมุม 60 เเล้ว a=b=c ก็ได้ผมเลยเดาว่าต้องเป็นด้านเท่าเเต่จริงๆไม่เป็นครับ

[NaPrai]

อันนี้ผมขอสมมติเอาเองนะครับว่าด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ คือ $a,b,c$ ตามลำดับ ทีนี้ก็พิจารณาจากสมการ $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$ จากนั้นก็คูณทั้งสมการด้วย $a+b+c$ จะได้ $\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$ จากนั้นก็กระจายนิดหน่อยได้
\begin{align*}a^2+c^2-ac=b^2\end{align*}
จากกฎของ Cosine ที่ว่า $b^2=a^2+c^2-2ac(\cos{B})$
จึงได้ว่า $\cos B=\frac{1}{2}\Rightarrow \boxed{\angle{B}=60^\circ }$