Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > เรขาคณิต
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 15 พฤศจิกายน 2018, 15:41
Supermath's Avatar
Supermath Supermath ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 มกราคม 2017
ข้อความ: 125
Supermath is on a distinguished road
Default พิสูจน์ว่าเป็นค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ในเรื่องเรขาคณิต

$ ให้\triangle ABC$ เป็น $ \triangle$ ใดๆ

$1. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $PA+PB+PC $ มีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์

$2. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $ PA^2+PB^2+PC^2 $ ทีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์

$3. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $ PD+PE+PF $ มีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์ โดย $D,E,F$ เป็นจุดปลายเส้นตั้งฉากจากจุด $ P$ มายังด้านของ $\triangle $

$4.$ พิจารณา $\triangle$ ที่มีวงกลมรัศมี $r$ เเนบใน หาพื้นที่ของ $\triangle $ ที่น้อยที่สุด เเละพิสูจน์

$5.$ พิจารณา $\triangle$ ที่เเนบในวงกลมรัศมี $ r $ หาพื้นที่ของ $\triangle $ ที่มากที่สุด เเละพิสูจน์

15 พฤศจิกายน 2018 15:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Supermath
เหตุผล: เเก้ LaTeX
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 19 พฤศจิกายน 2018, 21:36
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,616
gon is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Supermath View Post
$ ให้\triangle ABC$ เป็น $ \triangle$ ใดๆ

$1. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $PA+PB+PC $ มีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์

$2. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $ PA^2+PB^2+PC^2 $ ทีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์

$3. P $ เป็นจุดใดๆในระนาบ หาจุดที่ทำให้ $ PD+PE+PF $ มีค่าน้อยที่สุด เเละพิสูจน์ โดย $D,E,F$ เป็นจุดปลายเส้นตั้งฉากจากจุด $ P$ มายังด้านของ $\triangle $

$4.$ พิจารณา $\triangle$ ที่มีวงกลมรัศมี $r$ เเนบใน หาพื้นที่ของ $\triangle $ ที่น้อยที่สุด เเละพิสูจน์

$5.$ พิจารณา $\triangle$ ที่เเนบในวงกลมรัศมี $ r $ หาพื้นที่ของ $\triangle $ ที่มากที่สุด เเละพิสูจน์
ข้อ 2 ใช่ จุดเซนทรอยด์หรือเปล่าครับ

พิสูจน์ ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ ให้จุด $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), P(x, y)$

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 19 พฤศจิกายน 2018, 21:55
Supermath's Avatar
Supermath Supermath ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 มกราคม 2017
ข้อความ: 125
Supermath is on a distinguished road
Default

ผมยังไม่เข้าใจเรื่องเรขาวิเคราะห์เลยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 19 พฤศจิกายน 2018, 22:56
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

- ข้อ 1 คือจุด Fermat point

- ข้อ 2 มีเอกลักษณ์ตัวนึงที่น่าสนใจนะครับคือ $PA^2+PB^2+PC^2 = GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2$ โดยที่ $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์
วิธีในการพิสูจน์จะใช้ Stewart's theorem ในการพิสูจน์ โดยลองสังเกตจุดกึ่งกลางของแต่ละด้าน และลองหาความสัมพันธ์บางอย่างดู

- ข้อ 4 คำตอบคือ $3\sqrt{3}r^2$
จากความสัมพันธ์ที่ว่า $r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ พอใช้ความจริงจาก AM-GM จะได้ว่า $(s-a)(s-b)(s-c) \le \frac{s^3}{27}$ นั่นหมายความว่า $\boxed{s \ge 3\sqrt{3}r}$
คราวนี้มาดูที่จากความจริงว่าพื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ $\boxed{rs\ge 3\sqrt{3}r^2}$ โดยอสมการเป็นสมการเมื่อ สามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

19 พฤศจิกายน 2018 23:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 20 พฤศจิกายน 2018, 22:48
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,616
gon is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Supermath View Post
ผมยังไม่เข้าใจเรื่องเรขาวิเคราะห์เลยครับ
อ่าจากหนังสือแบบเรียนใอปลายเลยครับ บทนี้เนื้อหาน้อย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 23 พฤศจิกายน 2018, 19:28
Supermath's Avatar
Supermath Supermath ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 มกราคม 2017
ข้อความ: 125
Supermath is on a distinguished road
Default

ขอบคุณทุกคนครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 23 พฤศจิกายน 2018, 19:39
Supermath's Avatar
Supermath Supermath ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 มกราคม 2017
ข้อความ: 125
Supermath is on a distinguished road
Default

ผมอ่าน Fermat Point มันไม่มีพิสูจน์อ่ะครับ ช่วยทำให้หน่อย ผมอยากได้แบบที่ประยุกต์กับพิสูจน์อื่นๆด้วยน่ะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 28 พฤศจิกายน 2018, 20:34
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Supermath View Post
ผมอ่าน Fermat Point มันไม่มีพิสูจน์อ่ะครับ ช่วยทำให้หน่อย ผมอยากได้แบบที่ประยุกต์กับพิสูจน์อื่นๆด้วยน่ะครับ
แบบที่ประยุกต์กับพิสูจน์อื่นนี่คือยังไงอะครับ ที่ผมมีอยู่ตอนนี้ก็มีหลายแบบนะแต่ขอยกซักตัวอย่างนึงที่ผมชอบมากที่สุดละกัน

ขอเรียกจุด $F$ แทนจุด Fermat-Torricelli's point
พิจารณาจุด $P$ ดังภาพ เราจะหมุนจุด $A$ และจุด $P$ ในทิศทวนเข็มนาฬิกา 60 องศา โดยมีจุด $B$ เป็นจุดศูนย์กลางการหมุน ก็จะได้ตามภาพ

ผมจะให้สีแดง เขียว ฟ้าที่เหมือนกันแทนความยาวด้านที่เท่ากัน ($PA=P'A'$ และ $PB=PB'$ นั่นก็มาจากการหมุนไม่ได้เปลี่ยนความยาวของเส้น และจาก $PB=PB'$ และ $\angle PBP'=60^\circ$ ก็ได้อีกว่า $\bigtriangleup PBP'$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า) ดังนั้น $PA+PB+PC=P'A'+PP'+CP \ge CC' = FA+FB+FC$ (สมการสุดท้ายเป็นจริงก็เพราะว่าจุด $F$ อยุ่บนเส้นตรง $A'C$ อยู่ละ แล้วตอนที่หมุนจุด $F$ มาเป็นจุด $F'$ จุดนั้นมันอยู่บนเส้น $A'C$ พอดี ตรงนี้พิสูจน์ไม่ยากครับลองดูการหมุนรูปดูครับ)
รูปภาพที่แนบมาด้วย
   

29 พฤศจิกายน 2018 08:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 30 พฤศจิกายน 2018, 14:52
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default

ข้อ1ถ้ามองเป็นคำถามในเชิงเศรษฐศาสตร์ได้นะครับ เช่นการจัดสรรปันส่วนผลประโยชน์สามฝ่าย คือถ้าเราเอาประโยชน์เฉพาะแต่ละฝ่าย เป็นที่ตั้งแน่นอนส่วนรวมย่อมเสียประโยชน์มาก แต่ถ้ามีการร่วมมือกันบางส่วนฝ่ายที่ร่วมมือกันได้ประโยชน์มาก ฝ่ายที่เหลือเสียประโยชน์และส่วนรวมก็อาจได้ประโยชน์แต่ไม่มาก และถ้าจะให้แต่ละฝ่ายได้ประโยชน์เท่ากัน ส่วนรวมก็จะได้ประโยชน์มากแต่ยังไม่ถึงกับมากที่สุด แต่จุดเฟอรแมทกับคู่หูของเขาบอกเราว่าส่วนรวมจะได้ประโยชน์สูงสุดไม่จำเป็นที่ทุกฝ่ายต้องได้ประโยชน์เท่ากันไม่เสียเปรียบกัน
....ในส่วนของคณิตศาสตร์คิดว่าน่าจะหาสมการพหุนามกำลังสามมาเป็นคำตอบได้นะครับสำหรับปัญหานี้
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 02 ธันวาคม 2018, 18:18
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

ขอข้อ 2 นิดนึงอย่างที่ผมเคยบอกไปว่ามีเอกลักษณ์ที่น่าสนใจ คือ $PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2$ เมื่อ $P$ เป็นจุดใดๆ บนสามเหลี่ยม $ABC$ และ $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม $ABC$ แต่ผมยังไม่ได้พิสูจน์ เลยอยากขอมาพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ

ผมขอกำหนดเพิ่มอีกหน่อยก็คือให้ $M_A$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $BC$
จะเห็นว่าจากภาพ พิจารณา \begin{align*}PA^2+PB^2+PC^2 &= PA^2+2PM_A^2+2BM_A^2 & \text{(จาก Stewart's theorem บน $\triangle PBC \cup M_A$)} \\&= 3(PG^2+GA\cdot GM_A)+2BM_A^2 &\text{(จาก Stewart's theorem บน $\triangle PAM_A \cup G$)} \\&= 3PG^2 +GA^2+2GM_A^2+2BM_A^2 &\text{(ใช้ความสัมพันธ์ของจุดเซนทรอยด์ที่ว่า $GA=2GM_A$)} \\&=3PG^2+GA^2+GB^2+GC^2 &\text{(จาก Stewart's theorem บน $\triangle GBC \cup M_A$)}\end{align*}
ตามต้องการ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 

02 ธันวาคม 2018 18:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 14 ธันวาคม 2018, 11:38
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default พหุนามกำลังสามของสามเหลี่ยมในระนาบ

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Supermath View Post
ผมอ่าน Fermat Point มันไม่มีพิสูจน์อ่ะครับ ช่วยทำให้หน่อย ผมอยากได้แบบที่ประยุกต์กับพิสูจน์อื่นๆด้วยน่ะครับ
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NaPrai View Post
แบบที่ประยุกต์กับพิสูจน์อื่นนี่คือยังไงอะครับ ที่ผมมีอยู่ตอนนี้ก็มีหลายแบบนะแต่ขอยกซักตัวอย่างนึงที่ผมชอบมากที่สุดละกัน

ขอเรียกจุด $F$ แทนจุด Fermat-Torricelli's point
พิจารณาจุด $P$ ดังภาพ เราจะหมุนจุด $A$ และจุด $P$ ในทิศทวนเข็มนาฬิกา 60 องศา โดยมีจุด $B$ เป็นจุดศูนย์กลางการหมุน ก็จะได้ตามภาพ

ผมจะให้สีแดง เขียว ฟ้าที่เหมือนกันแทนความยาวด้านที่เท่ากัน ($PA=P'A'$ และ $PB=PB'$ นั่นก็มาจากการหมุนไม่ได้เปลี่ยนความยาวของเส้น และจาก $PB=PB'$ และ $\angle PBP'=60^\circ$ ก็ได้อีกว่า $\bigtriangleup PBP'$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า) ดังนั้น $PA+PB+PC=P'A'+PP'+CP \ge CC' = FA+FB+FC$ (สมการสุดท้ายเป็นจริงก็เพราะว่าจุด $F$ อยุ่บนเส้นตรง $A'C$ อยู่ละ แล้วตอนที่หมุนจุด $F$ มาเป็นจุด $F'$ จุดนั้นมันอยู่บนเส้น $A'C$ พอดี ตรงนี้พิสูจน์ไม่ยากครับลองดูการหมุนรูปดูครับ)
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm View Post
ข้อ1ถ้ามองเป็นคำถามในเชิงเศรษฐศาสตร์ได้นะครับ เช่นการจัดสรรปันส่วนผลประโยชน์สามฝ่าย คือถ้าเราเอาประโยชน์เฉพาะแต่ละฝ่าย เป็นที่ตั้งแน่นอนส่วนรวมย่อมเสียประโยชน์มาก แต่ถ้ามีการร่วมมือกันบางส่วนฝ่ายที่ร่วมมือกันได้ประโยชน์มาก ฝ่ายที่เหลือเสียประโยชน์และส่วนรวมก็อาจได้ประโยชน์แต่ไม่มาก และถ้าจะให้แต่ละฝ่ายได้ประโยชน์เท่ากัน ส่วนรวมก็จะได้ประโยชน์มากแต่ยังไม่ถึงกับมากที่สุด แต่จุดเฟอรแมทกับคู่หูของเขาบอกเราว่าส่วนรวมจะได้ประโยชน์สูงสุดไม่จำเป็นที่ทุกฝ่ายต้องได้ประโยชน์เท่ากันไม่เสียเปรียบกัน
....ในส่วนของคณิตศาสตร์คิดว่าน่าจะหาสมการพหุนามกำลังสามมาเป็นคำตอบได้นะครับสำหรับปัญหานี้
การหาจุดเฟอแมทที่ว่านี้อาจหาผ่านวิธีทางพืชคณิตได้ โดยใช้พหุนามกำลังสาม
เช่นถ้าให้สามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามยาว 3,4และ5 หน่วยตามลำดับ
พหุนาม...$$x^3-\alpha x^2+\beta x-\gamma =0...\alpha, \beta ,\gamma \in R^+$$
โดยที่...$\alpha= \sqrt{25+12\sqrt{3} } ,\beta=8\sqrt{3}และ \gamma \approx 8.1673$
จะมีรากสมการเป็น ความยาวของส่วนของเส้นตรง$PA,PBและPCตามลำดับเมื่อPA+PB+PCมีค่าน้อยที่สุดและจุดPเป็นจุดภายในสามเหลี่ยม$

สำหรับสูตรในรูปแบบทั่วไปจะนำมาลงให้ในโอกาสต่อไปนะครับ
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:25


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha