Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 26 ธันวาคม 2018, 23:33
Supermath's Avatar
Supermath Supermath ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 มกราคม 2017
ข้อความ: 125
Supermath is on a distinguished road
Default อสมการครับ

ให้ $a,b,c,d\in \mathbb{R}, abcd=1$ จงเเสดงว่า $a^4b+b^4c+c^4d+d^4a\geqslant a+b+c+d$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 28 ธันวาคม 2018, 01:32
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

ข้อนี้เป็นโจทย์คลาสสิคจากการใช้อสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก (Weighted AM-GM) เลยครับ
ก่อนอื่นเริ่มจากการปรับดีกรีของทั้งสองข้างของอสมการให้เท่ากันก่อน ก็จะได้ว่าอสมการที่จะพิสูจน์สมมูลกับ

$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a \ge a^2bcd + ab^2cd + abc^2d +abcd^2$

ไอเดียคือลองพิจารณา $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 \in \mathbb{R^+}\cup \left\{0\right\}$ ที่ทำให้ $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 = 1$ โดยอสมการ Weighted AM-GM ก็จะได้ว่า

$\lambda_1 a^4b+\lambda_2b^4c+\lambda_3c^4d+\lambda_4d^4a \ge a^{4\lambda_1+\lambda_4}b^{4\lambda_2+\lambda_1}c^{4\lambda_3+\lambda_2}d^{4\lambda_4+\lambda_3}$

ทีนี้ลองพิจารณาทีละก้อนของฝั่งขวาของอสมการที่เราจะพิสูจน์กันเลยครับ เริ่มจากเทียบ $a^2bcd$ กับ $a^{4\lambda_1+\lambda_4}b^{4\lambda_2+\lambda_1}c^{4\lambda_3+\lambda_2}d^{4\lambda_4+\lambda_3}$โดยการเทียบเลขชี้กำลังของ $a,b,c,d$ และการแก้ระบบสมการออกมาจะได้ว่า $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)=(\frac{23}{51},\frac{7}{51},\frac{11}{51},\frac{10}{51})$

นั่นคือได้ว่า
$\frac{23}{51}a^4b+\frac{7}{51}b^4c+\frac{11}{51}c^4d+\frac{10}{51}d^4a \ge a^2bcd$
ทำในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า
$\frac{7}{51}a^4b+\frac{11}{51}b^4c+\frac{10}{51}c^4d+\frac{23}{51}d^4a \ge ab^2cd$
$\frac{11}{51}a^4b+\frac{10}{51}b^4c+\frac{23}{51}c^4d+\frac{7}{51}d^4a \ge abc^2d$
$\frac{10}{51}a^4b+\frac{23}{51}b^4c+\frac{7}{51}c^4d+\frac{11}{51}d^4a \ge abcd^2$

พอเอาสี่อสมการนี้มารวมกันก็จะได้ตามต้องการครับ

28 ธันวาคม 2018 07:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 28 ธันวาคม 2018, 01:43
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

แต่ยังไงผมก็คิดว่ามันไม่น่าจะจริง สำหรับทุกจำนวนจริง $a,b,c,d$ นะ น่าจะพิมพ์ตกหล่นหรือเปล่าครับ ลองดูตัวอย่างค้านนี้นะครับ $(a,b,c,d)=(-0.5,1,1,-2)$

28 ธันวาคม 2018 01:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 28 ธันวาคม 2018, 01:49
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

อีกวิธีนึงลองดูแบบนี้ก็ได้ครับ สวยงามอยู่ไ่ม่ใช่น้อย โดยใช้แค่ AM-GM ธรรมดา ก็จะได้ว่า

$a^4b+c+d \ge 3a(abcd)^\frac{1}{3}=3a$
ทำในทำนองเดียวกันจะได้
$b^4c+d+a \ge 3b(abcd)^\frac{1}{3}=3b$
$c^4d+a+b \ge 3c(abcd)^\frac{1}{3}=3c$
$d^4a+b+c \ge 3d(abcd)^\frac{1}{3}=3d$

พอรวมทั้งสี่อสมการก็จะได้ตามต้องการครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 29 ธันวาคม 2018, 20:33
Supermath's Avatar
Supermath Supermath ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 มกราคม 2017
ข้อความ: 125
Supermath is on a distinguished road
Default

ขอบคุณครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:28


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha