ช่วยพิสูจน์โจทย์อสมการหน่อยครับ

[Rainy day]

อันนี้เป็นข้อที่พยายามทำมาหลายรอบแล้วยังทำไม่ได้ครับ ช่วยหน่อยนะครับ

1. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดย $a^2+b^2+c^2=3$ พิสูจน์ $\frac{1}{4-a}+\frac{1}{4-b}+\frac{1}{4-c}\leqslant 1 $

2. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก พิสูจน์ $\frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b} \leqslant \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab} $

3. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดย $abc=1$ พิสูจน์ $a^3+b^3+c^3+(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geqslant a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

4. x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก โดย $xyz=1$ พิสูจน์ $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geqslant x+y+z$

5. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดย $a+b+c=3$ พิสูจน์ $\frac{1}{a+b+c^2}+\frac{1}{b+c+a^2}+\frac{1}{c+a+b^2}\leqslant 1$

6. $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก พิสูจน์ $\frac{a_1^4+a_2^4+...+a_n^4}{a_1^3+a_2^3+...+a_n^3}\geqslant \frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{a_1+a_2+...+a_n} $

แล้วก็อยากได้โจทย์อสมการเพื่อเตรียมตัวสอบ TMO (ที่ไม่ใช่โจทย์ TMO) อยากรู้ว่าหาได้จากแหล่งไหนหรือมีหนังสืออะไรแนะนำมั้ยครับ
ขอบคุณครับ

[NaPrai]

ถ้าเผื่อต้องการคิดก่อนซักนิดนึงผมจะให้ hint ไว้นะครับ แต่ก่อนอื่นขอเรียงระดับความยาก(สำหรับผม) ก่อนนะครับ เผื่อจะช่วยในการตัดสินใจทำได้ถูก

สำหรับผมตามความยาก: 2<6<3<4=5<1

แต่ละข้อก็จะมีเทคนิคเล็ก ๆ น้อย ๆ ลองเอาไปย่อย ๆ ดูสักพัก ก็จะได้ไอเดีย เผื่อเจอโจทย์อื่น ก็จะได้นำเทคนิคนี้ไปใช้ ฝึกฝนเรื่อย ๆ ก็จะเซียนขึ้น บางทีอาจจะเจอโจทย์แล้วถึงขั้นมองตอบเลยก็ได้

ปล. โจทย์ข้อ 1 ยากสุดซะงั้น 5555

Hint:

ข้อ 1

ลองลบอสมการฝั่งซ้ายด้วยฝั่งขวาเพื่อให้ได้อสมการที่สมมูล แล้วลองนึกวิธีใช้ chebychev ดูครับ

ข้อ 2

คูณ $2abc$ ตลอดทั้งสมการก็จะทำให้อสมการดูง่ายลงขึ้นเยอะ ต่อจากนั้นลองใช้อสมการ rearrangement หรืออสมการอื่น ๆ ในการพิสูจน์ดูครับ อันนี้มีหลายวิธี

ข้อ 3

ลองแบ่งการพิสูจน์ออกเป็นสองส่วนดูครับ ดังนี้
\begin{align*}a^3+b^3+c^3 \ge a^2b+b^2c+c^2a \\(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3 \ge ab^2 + bc^2 + ca^2 \end{align*}

ข้อ 4

ขั้นแรกต้องทำให้ดีกรีของทั้งสองฝั่งเท่ากันก่อน (หรือที่เรียกกันว่า Homogenize) ก็จะได้อสมการที่สมมูลคือ
\begin{align*}\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \ge \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}} \end{align*}
ตรงนี้อาจจะมองยากอยู่ แต่ไม่เป็นไรลองแทนค่าให้ $a^3 = \frac{y}{z}, b^3 = \frac{z}{x}, c^3 = \frac{x}{y}$ แล้วลองดูว่าฝั่งขวาจะเขียนเป็นรูป $a,b,c$ ยังไง ถ้ายังนึกไม่ออกลองดูแต่ละตัวว่า $\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}$ เขียนเป็นรูป $a,b,c$ ยังไง

ข้อ 5

ข้อนี้เน้นเทคนิคนิดนึง ก่อนอื่นสังเกตว่าตัวส่วนนี่ดีกรีไม่เท่ากัน ลองคูณก่อนบางอย่างเข้าไปทั้งเศษและส่วน แล้วลองใช้ Cauchy-Schwarz ตัวส่วนดู เพื่อทำให้ดีกรีของแต่ละพจน์มีค่าเท่ากัน และทำให้ใช้เงื่อนไขได้ง่ายขึ้นด้วย

ข้อ6

คูณไขว้แล้วกระจายดู พยายามเขียนในรูป sum ที่ทำให้เข้าใจง่ายขึ้น

[NaPrai]

โพสต์นี้เป็นเฉลยวิธีการทำนะครับ ถ้ากลัวว่าเป็นการสปอยล์ก็ลองคิดเองดูก่อน หรือดู Hint ที่โพสต์ไว้ก่อนหน้าก็ได้ครับ

FULL SOLUTION:

เฉลยข้อ 1

อสมการดังโจทย์สมมูลกับอสมการ

$\frac{1-a}{4-a}+\frac{1-b}{4-b}+\frac{1-c}{4-c} \ge 0$

โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติให้ $a \ge b \ge c$
พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $1-a^2 \le 1-b^2 \le 1-c^2$ และ $(1+a)(4-a) \ge (1+b)(4-b) \ge (1+c)(4-c)$ (อสมการแรกพิสูจน์เห็นได้ชัดว่าเป็นจริง ส่วนอสมการสองพอกระจายจะได้ว่าต้องพิสูจน์ว่า ถ้า $a \ge b$ แล้ว $(a-b)(a+b-3) \le 0$ ซึ่งเป็นจริงเพราะ $a+b \le a+b+c \le 3$)

โดย Chebychev's inequality จึงได้ว่า

$\frac{1-a}{4-a}+\frac{1-a}{4-b}+\frac{1-c}{4-c} \ge \frac{1}{3}\left[(1-a^2)+(1-b^2)+(1-c^2)\right]\left[\frac{1}{(1+a)(4-a)}+\frac{1}{(1+b)(4-b)}+\frac{1}{(1+c)(4-c)}\right]=0$

ตามต้องการ

เฉลยข้อ 2

หลังจากคูณทั้งอสมการด้วย $2abc$ จะได้ว่าอสมการดังกล่าวสมมูลกับอสมการ

$ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2) \le 2(a^4+b^4+c^4)$

โดยอสมการ Power-mean และ AM-GM ตามลำดับ จะได้ว่า

$a^4 + b^4 \ge \left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)(a^2+b^2) \ge ab(a^2+b^2)$

ทำในทำนองเดียวกันกับ $b^4+c^4$ และ $c^4+a^4$ แล้วนำอสมการทั้งสามมารวมกันก็จะได้ตามต้องการ

เฉลยข้อ 3

พิจารณาโดย AM-GM จะได้ว่า \begin{align*}\frac{a^3+a^3+b^3}{3} &\ge a^2b \\ \frac{b^3+b^3+c^3}{3} &\ge b^2c \\ \frac{c^3+c^3+a^3}{3} &\ge c^2a \end{align*}
และ
\begin{align*}\frac{(ab)^3+(ab)^3+(bc)^3}{3} &\ge a^2b^3c = ab^2 \\ \frac{(bc)^3+(bc)^3+(ca)^3}{3} &\ge ab^2c^3 = bc^2 \\ \frac{(ca)^3+(ca)^3+(ab)^3}{3} &\ge a^3bc^2 = ca^2 \end{align*}
เมื่อนำอสมการทั้งหมดมารวมกันก็จะได้ตามต้องการ

เฉลยข้อ 4

อสมการนี้สมมูลกับอสมการ

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \ge \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$

เพื่อความสะดวก กำหนดให้ $a^3 = \frac{y}{z}, b^3 = \frac{z}{x}, c^3 = \frac{x}{y}$ ดังนั้นอสมการจะเปลี่ยนรูปกลายเป็น

$a^3+b^3+c^3 \ge a^2b+b^2c+c^2a$

ซึ่งทำแบบเดียวกับข้อ 3 ในส่วนแรก ก็จะได้ตามต้องการ

เฉลยข้อ 5

พิจารณาโดยใช้ Cauchy-Schwarz's inequality กับตัวส่วนของอสมการ ดังนี้
\begin{align*}\frac{1}{a+b+c^2}&=\frac{a+b+1}{(a+b+c^2)(a+b+1)}\le\frac{a+b+1}{(a+b+c)^2} \\ \frac{1}{b+c+a^2}&=\frac{b+c+1}{(b+c+a^2)(b+c+1)}\le\frac{b+c+1}{(a+b+c)^2} \\ \frac{1}{c+a+b^2}&=\frac{c+a+1}{(c+a+b^2)(c+a+1)}\le\frac{c+a+1}{(a+b+c)^2}\end{align*}
เมื่อนำอสมการทั้งสามมารวมกัน ผนวกกับเงื่อนไข $a+b+c=3$ ก็จะได้ตามต้องการ

เฉลยข้อ 6

หลังจากคูณไขว้เศษส่วนอสมการนี้ก็จะได้ว่าต้องพิสูจน์ว่า
\begin{align*}\left(\sum_{i=1}^n {a_i^4}\right)\left(\sum_{i=1}^n {a_i}\right) \ge \left(\sum_{i=1}^n {a_i^3}\right) \left(\sum_{i=1}^n {a_i^2}\right)\end{align*}
โดยสามารถพิสูจน์ได้ดังนี้
\begin{align*} \left(\sum_{i=1}^n {a_i^4}\right)\left(\sum_{i=1}^n {a_i}\right) &=\left(\sum_{i=1}^n {a_i^5}\right)+ \left(\sum_{1\le i<j \le n} {a_i^4a_j + a_ia_j^4}\right)\\&=\left(\sum_{i=1}^n {a_i^5}\right)+ \left(\sum_{1\le i<j \le n} {a_ia_j(a_i^3+a_j^3)}\right) \\&\ge\left(\sum_{i=1}^n {a_i^5}\right)+ \left(\sum_{1\le i<j \le n} {a_ia_j\frac{(a_i+a_j)^3}{4}}\right) &(โดยอสมการ \ Power-mean) \\&\ge \left(\sum_{i=1}^n {a_i^5}\right)+ \left(\sum_{1\le i<j \le n} {a_i^2a_j^2(a_i+a_j)}\right) &{(โดย \ AM-GM \ ได้ว่า \ (a_i+a_j)^2\ge 4 a_ia_j)} \\&=\left(\sum_{i=1}^n {a_i^3}\right) \left(\sum_{i=1}^n {a_i^2}\right)\end{align*}

[NaPrai]

พอดีผมชอบอสมการ เลยขอจัดเต็มหน่อย 5555
เอาเป็นว่าถ้าอยากหาโจทย์อสมการก็ลองดูเล่มอสมการของ สอวน. ก็ได้ครับ โจทย์ในนั้นก็เอาเรื่องอยู่ หรือลองอ่านที่เป็นภาษาอังกฤษดูก็ได้นะ อย่างเช่น Basic in Olympiad Inequality ของ Samin Riasat หรือ Old and New inequality

อันที่จริงใน mathcenter เองก็มีกระทู้ที่เป็นอสมการเยอะเลยนะครับ ลองไปดูที่หน้าหลักของ mathcenter แล้วหาคำว่า อสมการ ก็เจอเยอะมาก. อย่างอันนี้ http://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=18

[Rainy day]

ขอบคุณมากครับผม