Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > พีชคณิต
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 02 เมษายน 2019, 21:56
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default functional equation

find all $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ that satisfies,

$\displaystyle xf(x+xy)=xf(x)+f(x^2)f(y)$

for any real number $x,y$

__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 04 เมษายน 2019, 22:55
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

Solution ของผมยาวกว่าของคุณจูกัดเหลียงอีก 5555 แต่ก็อยากลองมาแชร์หน่อยครับ

ก่อนอื่นเราเห็นอยู่แล้วแน่ ๆ ว่า $\boxed{f(x)=0 \ \forall x \in \mathbb{R}}$ เป็นคำตอบหนึ่งแน่ ๆ ดังนั้นเรามาดูคำตอบในกรณีอื่นกันครับ นั่นคือ มีจำนวนจริง $t$ ที่ทำให้ $f(t) \not= 0$

แทน $x=0$ และ $y=t$ ในสมการตั้งต้น $f(0)f(t)=0$ ซึ่งจาก $f(t) \not= 0$ ดังนั้น $f(0)=0$

แทน $y=-1$ ในสมการตั้งต้น จะได้ \begin{align*} xf(x)+f(x^2)f(-1) &= 0 &-(1)\end{align*} เมื่อแทน $x=t$ ซึ่งไม่เท่ากับ $0$ ลงใน (1) ก็จะได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่ $f(-1)=0$ ดังนั้น $f(-1)\not=0$

แทน $x=-1$ ใน (1) และผลจากบรรทัดที่แล้วจะได้ $f(1)=1$

แทน $x=1$ ใน (1) และผลจากบรรทัดที่แล้วจะได้ $f(-1)=-1$ จากนั้นนำไปแทนค่าใน (1) จึงได้ทันทีว่า \begin{align*}f(x^2)=xf(x)\end{align*} จากนั้นนำไปแทนค่าในสมการตั้งต้น ทำให้ได้ว่า
\begin{align*}xf(x+xy) = xf(x) + xf(x)f(y)\end{align*} หรือก็คือ \begin{align*}f(x+xy) &= f(x)+f(x)f(y) \end{align*} สำหรับ $x\not=0$
แต่หากพิจารณาดูดี ๆ จะพบว่าเมื่อ $x=0$ จะได้ว่าสมการนี้ยังเป็นจริงอยู่ จึงสรุปได้ว่า \begin{align*}f(x+xy) &= f(x)+f(x)f(y) &-(2) \end{align*} เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$

แทน $y=x-1$ ในสมการ (2) และใช้ผลที่ได้มาก่อนหน้าคือ $f(x^2)=xf(x)$ จะได้ \begin{align*}xf(x) = f(x)+f(x)f(x-1)\end{align*} นั่นคือ $f(x) = 0$ หรือ $f(x-1)=x-1$ อย่างใดอย่างหนึ่ง

พิจารณาถ้ามี $u \not= 0$ ที่ทำให้ $f(u)=0$ เพียงเราแทน $x=u$ และ $y=\frac{z}{u}-1$ ในสมการ (2) จะได้ว่า $f(z)=0$ สำหรับทุกจำนวนจริง $z$ ซึ่งจะขัดแย้งกับที่สมมติไว้แต่ต้น

ดังนั้น $f(x)=0$ ก็ต่อเมื่อ $x=0$

ทำให้ได้ว่า $f(x-1)=x-1$ สำหรับ $x \not= 0$ หรือก็คือ $f(x)=x$ สำหรับ $x \not= -1$
เมื่อนำมาผนวกกับที่ได้มาก่อนหน้าคือ $f(-1)=-1$
จึงได้ว่า $\boxed{f(x)=x \ \forall x \in \mathbb{R}}$ เป็นเพียงคำตอบเดียวในกรณีนี้

หลังจากตรวจคำตอบก็ได้ว่าสมการนี้มีเพียงสองคำตอบดังที่ได้กล่าวมาคือ $f(x)=0 \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ และ $f(x)=x \ \ \forall x \in \mathbb{R}$

05 เมษายน 2019 01:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 11 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
functional equation(Cauchy's equation) and composition function tukkaa ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 0 25 พฤษภาคม 2011 10:53
Functional Equation จูกัดเหลียง ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 1 31 มีนาคม 2011 19:49
Functional Equation Spotanus พีชคณิต 1 03 ตุลาคม 2008 21:58
IMO;Functional Equation The jumpers พีชคณิต 4 12 พฤษภาคม 2008 14:43
Functional Equation dektep พีชคณิต 14 14 มีนาคม 2008 11:35

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:22


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha