Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 10 เมษายน 2019, 19:34
Supermath's Avatar
Supermath Supermath ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 มกราคม 2017
ข้อความ: 125
Supermath is on a distinguished road
Default NT problem

จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $p^2+2543$ มีตปกบวกที่ต่างกันน้อยกว่า $16$ ตัว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 10 เมษายน 2019, 21:41
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

คำตอบคือมีเพียงแค่ $2$ เท่านั้นครับ

โดยก่อนอื่นมาพิจารณากันในเคสเล็ก ๆ ก่อนก็คือ $p=2$ และ $p=3$ ซึ่งก็ตรวจสอบได้ไม่ยากครับว่ามีเพียง $p=2$ ทึ่สอบผ่านเงื่อนไขของโจทย์

ต่อมาเรามาดูในเคสที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า $3$ ก็สังเกตได้ง่ายทันทีว่า $2$ และ $3$ ไม่สามารถหาร $p$ ลง (ก็แหงสิครับ! เล่นให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างจาก $2$ กับ $3$ นี่นา ) ดังนั้นโดยการเช็ค mod ก็จะได้ว่า $8 \mid p^2+2543$ (ด้วยความจริงที่ว่า $2 \nmid p$) และก็ได้ว่า $3 \mid p^2+2543$ (ด้วยความจริงที่ว่า $3 \nmid p$)

นั่นหมายความว่า ถ้า $p \ge 5$ จะได้ว่า $p^2+2543$ มีตัวประกอบบวกอย่างน้อย $16$ ตัว นั่นก็คือ
$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, \frac{p^2+2543}{24}, \frac{p^2+2543}{12}, \frac{p^2+2543}{8}, \frac{p^2+2543}{6}, \frac{p^2+2543}{4}, \frac{p^2+2543}{3}, \frac{p^2+2543}{2}, p^2+2543$
จึงได้ว่า $p \ge 5$ สอบตกเงื่อนไขที่ต้องการ

สรุปคำตอบจีงมีแค่ $2$ เท่านั้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 10 เมษายน 2019, 21:52
Supermath's Avatar
Supermath Supermath ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 มกราคม 2017
ข้อความ: 125
Supermath is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากครับผม
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Problem Wings_Evolution ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น 2 25 พฤศจิกายน 2010 22:21
A problem 2. Hojoo Lee อสมการ 8 31 ตุลาคม 2009 18:02
NT problem??sure?? tatari/nightmare ทฤษฎีจำนวน 2 14 มีนาคม 2009 09:53
A problem 8. The jumpers อสมการ 2 09 พฤศจิกายน 2008 21:14
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 2: Log Problem warut คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 8 16 มกราคม 2006 05:04

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:46


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha