NT Problem

[Supermath]

หา $p$ ทั้งหมดที่ $\frac{2^{p-1}-1}{p} $ เป็นกำลัง 2 สมบูรณ์

[NaPrai]

$p$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือเปล่าครับ ถ้าใช่ก็จะได้ตามนี้ครับ

คำตอบคือ $p=3,7$

ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของโจทย์
ก่อนอื่นจะเห็นว่า $p$ ที่ทำให้ $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ เป็นจำนวนเต็ม ก็ต่อเมื่อ $p$ เป็นจำนวนคี่ จึงได้ว่า $p-1$ เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น เราจึงแยกตัวประกอบได้ดังนี้ \begin{align*}2^{p-1}-1=\left(2^\frac{p-1}{2}-1\right)\left(2^\frac{p-1}{2}+1\right)\end{align*} พิจารณาเนื่องจาก ห.ร.ม. ของ $2^\frac{p-1}{2}-1$ และ $2^\frac{p-1}{2}+1$ คือ $1$ ดังนั้นจะได้ว่าสามารถแบ่งออกเป็นได้สองกรณีดังนี้

กรณี 1 $2^\frac{p-1}{2}-1 = pu^2$ และ $2^\frac{p-1}{2}+1 = v^2$ เมื่อ $u,v$ เป็นจำนวนนับที่ $(u,v)=1$ และ $p\nmid v$

สำหรับกรณีนี้จะได้ว่า $2^\frac{p-1}{2} = (v-1)(v+1)$ นั่นหมายความว่า มี $a,b \in \mathbb{Z_{\ge 0}}$ ที่ทำให้ $v-1=2^a$ และ $v+1=2^b$
จึงได้ว่า $2^b=2+2^a$ ซึ่งหาคำตอบได้ไม่ยากครับว่า $(a,b)=(1,2)$ เท่านั้น
เมื่อเอากลับไปแทน จะได้ว่า $\boxed{p=7}$ ซึ่งตรวจคำตอบแล้วก็พบว่าเป็นจริง

กรณี 2 $2^\frac{p-1}{2}-1 = u^2$ และ $2^\frac{p-1}{2}+1 = pv^2$ เมื่อ $u,v$ เป็นจำนวนนับที่ $(u,v)=1$ และ $p\nmid u$

สำหรับกรณีนี้จะได้ว่า $u^2+1= 2^\frac{p-1}{2}$ ซึ่งถ้า $p \ge 7$ จะเห็นว่าฝั่งขวาของสมการสามารถหารด้วย $4$ ลงตัว แต่ว่า $u^2+1 \equiv 1 \ หรือ \ 2 \ (mod \ 4)$ จึงเป็นไปไม่ได้
ที่เหลือจึงเชคเคสที่ $p=3,5$ ซึ่งตรวจสอบได้ไม่ยากว่า $p$ ที่สอดคล้องมีเพียง $\boxed{p=3}$ เท่านั้นสำหรับกรณีนี้

สรุปจากทั้งสองกรณีจึงมีเพียงแค่ $3$ และ $7$ เท่านั้นที่เป็นคำตอบ