ฉลองโพสต์ที่ 150: 1 < Sum(x^2/x^2+yz) <= 2

[NaPrai]

จริง ๆ ผมก็ตัดสินใจกำลังจะเขียนบทความเกี่ยวกับอสมการอะไรสักหน่อย แต่ว่าเรื่องที่ผมจะเขียนอาจจะเกี่ยวกับโจทย์ข้อนี้นิดหน่อย (จริง ๆ มันเกี่ยวนิดเดียวเองแหละ 5555) แต่เอาจริงก็เป็นโจทย์ที่ผมว่าสวยอยู่พอสมควร เลยอยากให้สมาชิก mathcenter ได้มาลองขบคิดกันสักหน่อย ถ้าหากว่าแก้โจทย์ได้แล้วก็โพสต์ไว้ในหัวข้อนี้ได้เลยนะครับ ถือว่ามาแชร์ความรู้กัน ไม่พูดพร่ำทำเพลงมาก มาที่โจทย์กันเลยดีกว่า

ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ โดยที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันสองตัว จงพิสูจน์ว่า \begin{align*}1 < \frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+zx}+\frac{z^2}{z^2+xy} \le 2\end{align*}

[otakung]

แบบนี้ได้มั้ยครับ

ข้างซ้ายก่อน: เนื่องจาก x, y, z เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ โดยที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันสองตัว ดังนั้น
$$\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+zx}+\frac{z^2}{z^2+xy} > \frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}$$
โดย Cauchy Schwarz จะได้
$$\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy} \geqslant \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx} = 1$$

ข้างขวา: เนื่องจาก $\frac{x^2}{x^2+yz}=1-\frac{yz}{x^2+yz}$

ดังนั้น เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$$\frac{yz}{x^2+yz}+\frac{zx}{y^2+zx}+\frac{xy}{z^2+xy}\geqslant 1$$

จัดรูป $\frac{yz}{x^2+yz}=\frac{(yz)^2}{x^2yz+(yz)^2}$

โดย Cauchy Schwarz จะได้
$$\frac{(yz)^2}{x^2yz+(yz)^2}+\frac{(zx)^2}{y^2zx+(zx)^2}+\frac{(xy)^2}{z^2xy+(xy)^2} \geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+x^2yz+xy^2z+xyz^2}=1+\frac{x^2yz+xy^2z+xyz^2}{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+x^2yz+xy^2z+xyz^2} \geqslant 1$$

Equality holds (ผมนึกคำไทยไม่ออก ) เมื่อ $x, y, z$ ตัวใดตัวหนึ่งเป็น $0$ เพียงตัวเดียว

[NaPrai]

ยอดเยี่ยมครับคุณ otakung สวยงามมาก ๆ

[otakung]

ขอบคุณครับ ว่าแต่วิธีทำตรงกับของคุณ NaPrai มั้ยครับ รออ่านบทความนะครับ

[NaPrai]

ไม่ตรงนะครับ แต่ก็หลากหลายวิธีดีครับ ยังไงก็ขอบคุณนะครับที่จะรออ่านบทความ ฝากผลงานไว้ในอ้อมอกอ้อมใจด้วยนะครับ

ปล. จริง ๆ โจทย์ข้อนี้ก็มีวิธีที่เรียบง่ายอยู่ ก็คือลองกระจายดู ก็จะแก้ได้เหมือนกันครับ

[otakung]

เห็นโจทย์แล้วไม่กล้ากระจายเลยครับ 55